для указания числа величин, либо позади, для того чтобы обозначить количество отношений, которые будут в них мыслиться. Так, например, если я записываю: 2а3, то это одно и то же, как если бы я говорил: удвоенная величина, обозначаемая буквой а, содержащая 3 отношения. Таким способом мы не только сократим многие выражения, но, что особенно важно, будем выражать термины предложений в столь чистом и простом виде, что, не упуская ничего полезного, мы в то же время не допустим в них ничего излишнего, что напрасно занимало бы ум в то время, когда ему нужно вмещать одновременно множество объектов.
Для того чтобы все это было более понятно, обратим внимание прежде всего на то, что счетчики имеют обыкновение обозначать отдельные величины многими единицами или каким-либо числом; мы же здесь отвлечемся от чисел не менее, чем несколько ранее от геометрических фигур или от каких-либо других вещей. Мы делаем это не только во избежание скуки от длинных и ненужных вычислений, но в особенности еще и для того, чтобы те части предмета, которые составляют сущность трудности, были всегда отчетливо видны и не скрывались за бесполезными числами. Так, например, если нужно найти основание прямоугольного треугольника, данные катеты которого выражаются в числах 9 и 12, то счетчик скажет, что оно равно , или 15; мы же, положив вместо 9 и 12 а и b, найдем, что основание равно , и эти два члена а2 и b2, которые были скрыты в числе, останутся в нашей формуле раздельными.
Современное обозначение знака корня (√) впервые употребил в 1525 году немецкий математик Кристоф Рудольф. Этот символ происходит от стилизованной первой буквы слова radix (корень). Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала, но позже ее вводит Декарт вместо скобок, и эта черта вскоре сливается со знаком корня.
Нужно также обратить внимание на то, что под числом отношений необходимо разуметь пропорции, идущие друг за другом в непрерывном порядке, пропорции, которые в обыкновенной алгебре стараются выражать многими измерениями и многими фигурами. Первую из них называют корнем, вторую – квадратом, третью – кубом, четвертую – биквадратом и т. д.
Эти термины, признаюсь, очень долго вводили меня в заблуждение, ибо мне казалось, что для моего воображения не может быть ничего более ясного, чем линия и квадрат, чем куб и другие фигуры, придуманные наподобие этих. Хотя с помощью их я разрешил немало проблем, но после многих опытов я наконец убедился, что такой способ понимания не помог мне найти ничего, что я не сумел бы понять много легче и много яснее и без него, и нужно совершенно отбросить все эти выражения, чтобы они не затемняли наших понятий, ибо та самая величина, которая называется кубом или биквадратом, не может между тем по предшествующему правилу быть представлена в воображении иначе как в виде линии или в виде поверхности. Поэтому нужно еще особенно отметить, что корень, квадрат, куб и пр. являются не чем иным, как последовательно пропорциональными величинами, которым всегда предшествует наперед заданная единица, уже упомянутая нами выше. Первая пропорциональная величина стоит непосредственно и в одном отношении к этой единице, вторая – через посредство первой, а следовательно, связана с ней двумя отношениями, третья – через посредство первой и второй и связана с ней тремя отношениями и т. д. Поэтому мы будем теперь называть первой пропорциональной ту величину, которая в алгебре называется корнем, второй пропорциональной – ту, которая называется квадратом, и т. д.
И наконец, нужно обратить внимание на то, что, хотя мы здесь и абстрагируем термины трудности от чисел, для того чтобы исследовать ее природу, но она, однако, часто оказывается легче разрешимой с помощью данных чисел, чем без них. Это происходит при двойном применении чисел, ибо, как мы видели выше, именно одни и те же числа объясняют то порядок, то меру. Поэтому, после того, как мы пытались разрешить трудность, выразив ее в общих терминах, нужно снова свести ее на эти числа, для того чтобы узнать, не могут ли они дать нам более простого решения. Например, найдя, что основание прямоугольного треугольника с катетами а и b равно , где вместо а2 нужно взять 81 и вместо b2 – 144, числа, дающие в сумме число 225, корень которого (т. е. средняя пропорциональная между единицей и 225) равен 15, мы из этого узнаем, что основание 15 соизмеримо со сторонами 9 и 12, но не потому вообще, что оно является основанием такого треугольника, отношение сторон которого равно 3 к 4. Все это мы различаем потому, что стремимся достичь очевидного и отчетливого познания вещей, счетчики же не делают этого потому, что удовлетворяются отысканием нужного им числа, не замечая зависимости его от данных чисел, между тем как только в этом и заключается наука.
Заметим теперь вообще, что не нужно вверять памяти вещи, не требующие нашего постоянного внимания, если мы можем закреплять их на бумаге, во избежание того, чтобы бесполезный труд их припоминания не отвлекал наше мышление от того объекта, которым оно занято в данный момент. Кроме того, нужно составить таблицу, чтобы внести в нее сначала условия задачи в том виде, как они представляются с первого взгляда, затем – способ их абстрагирования и фигуры, посредством которых они обозначаются, чтобы, после того как мы найдем решение в самих знаках, мы могли легко и без всякого участия памяти применить его к частному предмету, с которым мы будем иметь дело. Нельзя именно абстрагировать какую-либо вещь иначе, нежели от какой-либо другой, менее общей. Это я запишу, следовательно, так: в прямоугольном треугольнике АВС нужно найти основание АС. Затем я отвлекаюсь от особенностей задачи, для того чтобы найти вообще величину основания по величине сторон; затем вместо стороны АВ, которая равна 9, я беру а, вместо стороны ВС, которая равна 12, я беру b, и т. д.
Нужно заметить, что мы будем пользоваться этими четырьмя правилами в третьей части настоящего трактата, где дадим им несколько более широкое применение, нежели это было объяснено здесь, как будет показано в своем месте.
Математика для
