При выполнении измерения событие состоит в получении показания прибора (математического ожидания) и его погрешности (неопределенности). Причем для прямых однократных измерений, к которым относится измерение приращения электроэнергии, неопределенность полностью устанавливается показанием прибора при заданной погрешности ± А и ее доверительной вероятности. Погрешность в общем случае приводится в методике выполнения измерений (МВИ).
Таким образом, рискоопасное событие – это неопределенность результата измерения, его вероятность – доверительная вероятность границ неисключенных систематических погрешностей Р Д (обычно – 0,95). Чем больше неопределенность, тем больше риск при той же самой вероятности. Однако здесь доверительная вероятность и интервал неопределенности связаны однозначной зависимостью, поэтому имеются отличия от общепринятого понимания риска, как «вероятности, умноженной на ущерб».
За натуральный показатель риска было бы логично взять отрезок (или часть отрезка) числовой оси между границами погрешностей 2А, выраженный в единицах физических величин, в рассматриваемом случае – в кВтч (МВт-ч).
С физической точки зрения риск неопределенности результата измерения состоит в возможности получении «самого плохого» значения измеряемой величины, принимаемой к учету, относительно ее истинного значения, которое оказывает негативное влияние на финансовый результат субъекта измерений. Если в качестве учетной информации принимается, как в случае коммерческого учета электроэнергии, середина интервала неопределенности 2Д (при равномерном законе распределения), т. е. показание прибора А, то максимальный риск связан со значением Д. С точки зрения измерений для целей коммерческого учета электроэнергии, последствия риска следует оценивать ее стоимостью, соответствующей объему риска в натуральном выражении, а именно произведением неопределенности на складывающуюся цену электроэнергии ЦЭ:
R = Р Д ⋅ Δ ⋅ ЦЭ. (2)
Принимая во внимание упомянутые особенности оценки риска неопределенности, представляется логичным не учитывать доверительную вероятность погрешностей измерений и записывать формулу (2) в виде
R = Δ ⋅ ЦЭ. (3)
Установка технических средств измерений для целей коммерческого учета электроэнергии или их модернизация с точки зрения повышения класса точности представляет собой мероприятия по уменьшению риска неопределенности результата измерений. Пусть границы погрешности при этом уменьшатся с Δ1 до Δ2. Тогда, очевидно, экономический эффект можно определить как
Э =
R 1
– R 2
= (Δ1 – Δ2) ЦЭ.
Как известно [2], законы распределения вероятностей погрешностей в различных измерительных устройствах весьма разнообразны. Это разнообразие создает основную трудность определения эффективного значения погрешности, которое однозначно характеризовало бы абсолютную величину интервала неопределенности значения физической величины, остающуюся после данного показания А. Определенность не вносится даже при задании доверительной вероятности, т. к. произвольное значение интервала 2 Д, исходя из максимальной или среднеквадратичной погрешности, просто заменяется произвольным назначением доверительной вероятности. Подход к решению данного вопроса был заложен К. Шенноном в его информационной теории [3]. Согласно ей количество информации, получаемое в результате любого сообщения (включая измерение), равно убыли неопределенности, или энтропии
q = H (X) – H (X / A), (4)
т. е. разности энтропий до и после получения сообщения (выполнения измерения). Причем исходная неопределенность, т. е. безусловная энтропия H(X), зависит только от распределения вероятности различных значений измеряемой величины (сообщений) и не зависит от распределения вероятности погрешности. Напротив, неопределенность, остающаяся после выполнения измерения (получения результата – сообщения), т. е. условная энтропия H(X/A), равна энтропии распределения вероятностей погрешностей [2].
Энтропия представляет собой своеобразный момент случайной величины с известной плотностью вероятности
p(x) или математическое ожидание логарифма этой плотности вероятности. Если принять в качестве основания логарифма число e, то она имеет вид
Для целей подсчета информации в битах в (5) используется двоичный логарифм.
На основании вышеприведенных соображений рядом авторов, например [2], делается вывод о целесообразности введения единого – информационного – подхода к любому закону распределения погрешности. Вводится понятие энтропийного значения погрешности. Под ним понимается значение погрешности с равномерным законом распределения, которое вносит такое же дезинформирующее действие, что и погрешность с данным законом распределения вероятностей.
Если погрешность с произвольным законом распределения вероятности имеет энтропию H(X/A) , то эффективный интервал неопределенности 2Δ вне зависимости от вида закона распределения будет равен
2Δ = exp H (X / A),
а энтропийное значение погрешности, определяемое как половина интервала неопределенности, будет равно
Δ = ± 1/2 exp H (X / A),
что позволяет однозначно определить риск коммерческого учета по выражению (3).
Зависимость между энтропийным и среднеквадратичным значением погрешности S может быть представлена как
Δ = K σ,
где коэффициент К подобен коэффициенту формы, связывающему действующее и среднее значение электрического тока [2].
Коэффициент
К зависит от вида закона распределения вероятностей погрешности и называется энтропийным коэффициентом данного закона. Наибольшей энтропией при заданной мощности помехи из всех возможных в природе законов распределения вероятностей обладает нормальное распределение. Поэтому оно имеет наибольший, предельно возможный, энтропийный коэффициент [2], равный
Энтропийный коэффициент равномерного распределения, характерного для погрешностей измерения приращения электроэнергии, имеет значение
Получение любой информации, в т. ч. и измерительной, теория информации трактует как устранение некоторой части неопределенности, а количество информации получается как разность неопределенности ситуаций до и после получения данного сообщения (результата измерения).
Хорошо известен пример оценки количества информации при равномерном законе распределения вероятности погрешностей [2]. Пусть априорно известно, что истинное значение подлежащей измерению физической величины лежит в диапазоне
( X1, X2 ). Тогда плотность вероятности имеет вид
После выполнения измерений получено показание прибора A с погрешностью ± Δ. При этом интервал неопределенности сократился до 2Δ, а плотность распределения стала равной
Тогда из (4) и (5) следует, что количество полученной при измерении информации выглядит как
Возвращаясь к оценкам рисков с учетом выводов информационной теории измерений, можно сделать следующие заключения.
1. Риск неопределенности априорной оценки (до выполнения измерения) по своей сути и последствиям принципиально не отличается от риска неопределенности результата измерения.
2. Риск неопределенности результата измерения целесообразно определять по энтропийному значению погрешности, являющемуся единой мерой дезинформации при любых законах распределения погрешностей.
3. На практике при оценке неопределенности измерений для целей коммерческого учета в качестве интервала неопределенности можно брать границы неисключенных систематических погрешностей, которые приводятся в МВИ.
Пример 1
У бытового потребителя стоял счетчик класса точности 2,0. Потребитель установил новый счетчик класса точности 1,0. Месячное потребление постоянно и равно 300 кВтч. Тариф на электроэнергию равен 1,84 руб./кВт-ч (Москва). Какой эффект получит потребитель от снижения рисков неопределенности результатов измерений при замене счетчика?
Рискоопасные интервалы неопределенности до и после замены счетчика составляют
Δ1 = 300 ⋅ 0,02 = 6 кВт⋅ч, Δ2 = 300 ⋅ 0,01 = 3 кВт⋅ч,
а соответствующие риски
R1 = 6 ⋅ 1,84 = 11,04 руб., R2 = 3 ⋅ 1,84 = 5,52 руб.
Таким образом, ежемесячный эффект от замены счетчика при заданном потреблении с точки зрения уменьшения риска неопределенности результатов измерений составит:
Э = 11,04 – 5,52 = 5,52 руб.
Принимая, что средняя цена нового однофазного счетчика равна 600 руб., можно сделать вывод, что снижение риска при данных условиях окупится более чем за 9 лет.
