N = (htn ± k)Q + R = (hQtn + R) ± kQ.
Теперь, hQtn можно найти умножением Q на h с присоединением n нулей. Следовательно, выражение hQtn + R находится подстановкой R на место этих n нулей. Если R содержит менее n цифр, недостающие вставляются перед ним нулями; если более, то избыточные следует перенести в следующий разряд и прибавить к hQ.
Вычислив наш «Критерий», то есть [значение выражения] hQtn + R, мы можем записать его на отдельной полоске бумаги и поместить ниже решения нашего примера, так чтобы он пришёлся прямо под N, которое будет располагаться сверху. Когда при D стоит знак «–», нам следует прибавить kQ к N и посмотреть, равен ли результат нашему «Критерию»; когда же знак «+», следует прибавить kQ к «Критерию» и посмотреть, равен ли результат N.
Уже указывалось, что когда, при новом Способе, решены первый и второй столбцы, то первый период частного и число внизу второго столбца суть частное и остаток, которые получились бы, если бы делимое оканчивалось своим вторым периодом. Следовательно, «Критерий» можно тут применить сразу, до переноса действия на третий столбец. Это составляет очень важную новую особенность моей версии способа мистера Коллингвуда. Каждые две соседствующие колонки содержат отдельную задачу на деление, которая может быть проверена сама по себе. Следовательно, как только, при решении моим способом, я внёс в графу «Частное» первый период, я могу её проверить и, в случае ошибки, исправить. Но тот злополучный вычислитель, который потратит, скажем, час времени, на деление некоего гигантского числа — обычным ли способом в столбик либо методом мистера Коллингвуда — и кому случится написать ошибочный результат на самом первом шагу, отчего и все последующие шаги оказываются неверны, — тот и не всполошится, пока не подойдёт к «горькому концу» и не начнёт проверять свой ответ. В то же время, следуя моей методике, он обратил бы внимание на ошибку почти тот час, как её сделал, и был бы в состоянии её исправить, пока не зашёл далеко.
В качестве пособия для читателя я целиком изложу ход рассуждения для второго и третьего столбцов первого из примеров, решённых выше.
Наш делитель есть число 6997 (где h = 7, k = 3). Здесь предполагается, что в графу «Частное» уже внесено 281. Делимое для этих двух столбцов есть 1972 | 103; частное 281, а остаток 5946. «Критерий» есть [выражение] hQtn + R (то есть 7 × 281000 + 5946), и начало хода рассуждения таково. На отдельной полоске бумаги записываем последние три цифры R, а именно 946, и переносим 5 в следующий разряд, прибавляя её к 7 × 281 следующим образом. «5 и 7 будет 12». Вносим 2, 1 в уме. «1 и 56 будет 57». Вносим 7, 5 в уме. «5 и 14 будет 19». Вносим. Вычислив «Критерий», проверяем, равняется ли ему [выражение] N + kQ. Вычисляем это последнее, сравнивая его по мере продвижения с нашим «Критерием» цифра за цифрой следующим образом. «3 и 3 будет 6». Сравниваем с «Критерием». «0 и 24 будет 24». Сравниваем 4, 2 в уме. «3 и 6 будет 9». Сравниваем. «1972 и 0 будет 1972». Сравниваем. «Критерий» удовлетворён.
Для делителей вида tn ± k нет нужды записывать «Критерий»: составляющие его числа уже находятся в решении и могут быть использованы на своих местах.
Глава 3. ДЕЛЕНИЕ ДЛИННЫХ ЧИСЕЛ, КОГДА ИСКОМЫМ ЯВЛЯЕТСЯ ОСТАТОК, НО НЕ ЧАСТНОЕ§1. Делитель вида (tn ± 1)
Искомые способы были рассмотрены в §1 предыдущей главы как процедуры, предваряющие нахождение частного.
В случае делителей прочих обсуждаемых здесь видов способы, предназначенные для нахождения частного и остатка, пригодны, разумеется, и для нахождения одного лишь остатка; нам нужно будет рассмотреть здесь только те случаи, когда, коль скоро частное нам не требуется, эти способы поддаются сокращению.
§2. Делитель вида (ht ± 1)
А именно: те способы, что были рассмотрены в §1 предыдущей главы, могут быть здесь сокращены удалением всего письменного решения под двойной чертой.
Для примера такого сокращённого способа возьмём число 27910385642558361 в качестве делимого и найдём его «остаток-29» и «остаток-71».
В первом случае по решении установится вид:
ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 3 и прибавления частного, 9, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «9 и 9 будет 18». Затем делим это 18 на 3 и прибавляем частное, 6, к числу, образованному добавлением в качестве префикса остатка, 0, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «6 и 1 будет 7». Затем говорим: «2 и 10 будет 12, 4 и 3 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 25 будет 31». Тут мы «отбрасываем» 29 и говорим: «что даёт 2». Объединяем её со следующей цифрой, 6, продолжая так: «8 и 24 будет 32, что даёт 3; 1 и 2 будет 3, 1 и 5 будет 6, 2 и 5 будет 7, 2 и 18 будет 20, 6 и 23 будет 29, что даёт 0; 2 и 1 будет 3, 1 и 2 будет 2».
Во втором случае по решении установится вид:
ход же рассуждения будет таков. Начинаем с деления 27 на 7 и вычитания частного, 3, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 6, к следующей цифре, 9; то есть говорим: «3 из 69 будет 66». Затем делим это 66 на 7 и вычитаем частное, 9, из числа, образованного добавлением в качестве префикса остатка, 3, к следующей цифре, 1; то есть говорим: «9 из 31 будет 22». Затем говорим: «3 из 10 будет 7, 1 из 3 будет 2, 0 из 28 будет 28, 4 из 5 будет 1, 0 из 16 будет 16, 2 из 24 будет 22, 3 из 15 будет 12, 1 из 55 будет 54, 7 из 58 будет 51, 7 из 23 будет 16, 2 из 26 будет 24, 3 из 31 будет 28, 4 из 1 [вычесть] нельзя, но (тут мы вбрасываем добавочный делитель) 4 из 72 будет 68».
§3. Степени 10
«Остаток-10» есть последняя цифра, «остаток-102» есть число, образованное двумя последними цифрами и так далее.
Эти остатки годятся в качестве начальных делимых для всех чисел, множители которых есть степени множителей 10, тот есть [степени чисел] 2 и 5. Так, «остаток-32» можно найти, взяв число, образованное последними пятью цифрами и разделив его на 32. Точно так же 80 есть 24 × 5; следовательно, «остаток-104» годится для того[, чтобы найти «остаток-80»].
§4. Множители делителей вида ht ± 1
«Остаток-21» годится в качестве начального делимого для 7 (множитель [числа 21] есть также множитель 9). Но этот остаток (из-за малой величины h, которая постоянно даёт вычитаемое, превосходящее уменьшаемое) находится с таким трудом, что лично я предпочитаю находить «остаток-7» обычным делением.
«Остаток-39» годится для 13, [остаток-] 51 — для 17, [остаток-] 69 — для 23.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
ДРУГИЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ
ДЕЛИМОСТЬ НА СЕМЬ [10]
Мистер Эскью в письме №1274 от 30 мая спрашивает о доказательстве метода установления делимости числа на семь, которое, как он утверждает, открыто мистером Рикардом из Бирмингема. Оно, возможно, многими открыто; к примеру, моим отцом, который обучил меня ему лет тридцать назад. Проверочное число одинаково полезно для 7, 11 и 13. Метод, разработанный моим отцом, даёт, в случае делимости числа на все эти три величины, также ещё одну величину без дальнейшего труда; и в этом отношении он имеет преимущество перед методом мистера Рикарда.
Если некое число N разметить, начиная с правого конца, на периоды в три разряда, обозначив эти периоды через a, b, c и т. д., и если M будет разницей между суммами перемежающихся периодов, то получим, записывая r вместо 1000,
N = a + br + cr + dr + и т. д.
M = a – b + c – d + и т. д.
Тогда
N – M = b(r + 1) + c(r2 – 1) + d(r3 + 1) + и т. д.
и делимо на (r + 1); следовательно, если M делимо на (r + 1) или на какой-либо его множитель, то так же и N. И в этом случае r + 1 = 1001 = 7 × 11 × 13.
