Частный случай плоского напряженного состояния: при σx = σy τα =0, на всех проведенных через точку площадках касательные напряжения равны нулю, т. е. все площадки – главные с нормальными напряжениями σα = σy = σz = σ. Примером такого состояния может служить стенка воздушного шара, находящаяся под давлением.
При σx = – σy = σ на грани элемента действуют численно равные сжимающие и растягивающие напряжения. Экстремальные касательные напряжения равны главным, а нормальные напряжения равны нулю. Такой частный случай носит название чистого сдвига.
12. Графическое определение напряжений (круг Мора)
По известным напряжениям, действующим на площадках, взаимно перпендикулярных друг другу и проходящих через заданную точку, можно определять напряжения по другим площадкам. Это осуществляется графическим способом, который был предложен немецким физиком О. Мором.
Запишем формулы для определения нормальных и касательных напряжений для площадок, проходящих через заданную точку, в виде:
σ = σxcos2α + σysin2α + τxsin2α
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Преобразуем первое выражение:
σ = ½σx(1 + cos2α) + ½σy(1 – cos2α) + τxsin2α
После тригонометрических преобразований формулы для напряжений запишутся в виде:
τ = (σx – σy)sin2α – τxcos2α
Обе части этих выражений возведем в квадрат, а затем сложим:
Сопоставим полученное 2 уравнением окружности (x – a)2 + (y – b)2 = R2.
Будем считать ось абсцисс осью нормальных напряжений, а ось ординат – осью касательных напряжений, график зависимости между этими напряжениями представляет окружность, центр которой находится в точке с координатами и радиусом, определяемым формулой . График этой окружности называется кругом напряжений, или кругом Мора.
Пример напряженного состояния и построенного для него круга Мора приведен на Рис. 6.1. Координаты каждой точки этого графика представляют собой напряжения по одной из площадок, проходящих через точку тела, для которой построен график напряженности.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
При помощи круга Мора также определяются главные напряжения и положения главных площадок (Рис. 6.2), а также экстремальные касательные напряжения.
13. Объемно-напряженное состояние материала
Для изучения объемно-напряженного состояния материала выберем произвольную точку тела, находящегося в напряженном состоянии, и выделим в окрестности этой точки элементарный кубик, по граням которого действуют главные напряжения σ1, σ2, σ3.
Проведем сечения, параллельные каждому из главных напряжений, и определим значение нормальных и касательных напряжений на этих площадках (Рис 7.1, Рис. 7.2, Рис. 7.3).
Рис. 7.1
Рис. 7.2
Рис. 7.3
Из условий равновесий составленных для отсеченных участков кубиков следует, что действующие на наклонных площадках напряжения не зависят от того из главных напряжений, параллельно которому эти площадки проведены. Обозначим угол наклона площадки α, применив принцип независимости действия сил, нормальные и касательные напряжения рассмотрим как сумму действия напряжений от σ1 и σ2.
σα = σ1cos2α + σ2cos2(α + 90°)
τα = 0,5σ1sin2α + 0,5σ2sin2(α + 90°)
Выполнив математические преобразования, запишем соотношения в виде:
σα = σ1cos2α + σ2sin2α
τα = 0,5(σ1 + σ2)sin2α
Полученные формулы определяют нормальные и касательные напряжения в случае объемно-напряженного состояния материала, они же соответствуют двухосному плоско-напряженному состоянию.
Максимальное касательное напряжение при объемном напряженном состоянии материала существует на площадке, параллельной напряжению σ2, нормаль к площадке составляет угол в 45° и определяется по формуле:
τmax = 0,5(σ1 – σ3)
14. Деформации при плоском и объемном напряженных состояниях (обобщенный закон Гука)
В пределах упругого деформирования была установлена прямая зависимость между нормальным напряжением σ и относительной деформацией ε, носящая название закона Гука.
σ = Ee
Для нахождения деформации нужно выбрать одну из точек исследуемого тела и мысленно рассмотреть элементарный кубик в ее окрестности, на который действуют главные напряжения. Деформация кубика происходит во всех трех направлениях главных напряжений σ1, σ2, σ3. Такие деформации называются главными деформациями и обозначаются ε1, ε2, ε3. Совокупность главных деформаций в точке тела определяет деформированное состояние в точке.
Чтобы определить главные деформации объемного напряженного состояния, сначала определим деформации, связанные с отдельными главными напряжениями и сложим результаты. Деформация ε1 напряжения σ1 в том же направлении, что и σ1 из закона Гука равна:
Тогда деформация от всех главных напряжений в направлении σ1
Таким же образом определяются деформации в направлении других главных напряжений.
В результате получим следующую систему уравнений, представляющую собой закон Гука в общем виде:
Эти уравнения можно записать для линейного и плоского напряженного состояния материалов, если убрать соответствующие слагаемые.
Из полученной системы уравнений видно, что, зная главные напряжения, можно найти напряженное и деформированное состояния в точке, причем эти состояния могут не совпадать.
15. Потенциальная энергия при сложном напряженном состоянии
При возникновении деформации внешние силы совершают работу, связанную со смещением точек приложения этой силы. Элементарная работа dA внешней силы F определяется по формуле:
dA = Fdl’
где dl’ – перемещение точки приложения силы.
Из закона Гука известно:
В этом соотношении l – длина рассматриваемого участка до деформации;
dl – изменение длины;
a – площадь поперечного сечения тела.
Таким образом,
dA = Eadl’dl / l
Проинтегрировав полученное равенство от нуля до окончательного значения перемещения l’, найдем полную работу силы.
При воздействии на тело внешних статических сил работа этих сил определяется как половина произведения окончательного значения силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
A = F’l’ / 2
При воздействии на тело постоянных внешних сил работа этих сил определяется как произведение значения этой силы на конечное значение перемещения точки приложения этой силы.
A = F’l’
Внутренние силы направлены противоположно перемещению, поэтому считается, что работа внутренних сил при нагружении отрицательна. Элементарная работа внутренних сил рассчитывается аналогично работе внешних сил.
dAвн = Ndl / 2
где N – продольная сила (внутренне усилие).
Вновь воспользовавшись законом Гука, имеем:
dAвн = –N2dl / 2Еa
Интегрируя соотношение по длине рассматриваемого участка, получим полную работу внутренних сил:
Потенциальной энергией деформации называется величина, равная модулю работы внутренних сил, она представляет собой энергию, которая накапливается телом при деформации.
U = Eal2 / 2(l + dl)
При расчетах различных конструкций и сооружений в случае деформации широко используются свойства механической энергии.
Если под воздействием нагрузки тело переходит в деформированное состояние, то сумма работ внутренних и внешних сил равна нулю. Это свойство энергии носит название закона сохранения механической энергии.
Действительное напряженное состояние равновесия упругого тела отличается от всех других состояний тем, что в этом состоянии потенциальная энергия деформации минимальна. Это свойство справедливо для тел, подчиняющихся закону Гука, и называется принципом наименьшей работы.
