меня в голове не укладывалось, как во имя каких-то вымышленных представлении, лишенных какой бы то ни было реальности, можно до конца жизни оставаться в тюрьме и встретить там смерть.
— Послушай, — продолжал мой сын, — мы можем представить себе Лайнландию, где все обитатели — это длинные или короткие отрезки, расположенные на одной и той же прямой, которая и служит их Вселенной. Эти отрезки могут двигаться вперед и назад, но только вдоль прямой. Такой лайнландец может представить себе одно измерение, но если заговорить с ним о втором направлении, перпендикулярном тому миру, в котором он живет, то лайнландец просто не поймет, о чем идет речь. Будь наш лайнландец гениальным ученым, он мог бы, пожалуй, путем умозрительных построений продвинуться настолько, чтобы проследить за следующим рассуждением. Если точка проходит конечное расстояние вдоль некоторой прямой, то она описывает отрезок, концами которого служат две точки. Если теперь мы станем перемещать отрезок конечной длины в перпендикулярном ему направлении на расстояние, равное его длине, то получится квадрат, имеющий четыре вершины и ограниченный четырьмя сторонами.
— Не думаю, — прервал я своего сына, — чтобы твой лайнландец мог понять эту часть твоих рассуждений. Ведь ему не известно, что такое «перпендикулярное направление», а это понятие играет важную роль в них.
— Согласен, но должен заметить, что мой лайнландец — не более чем плод воображения. В Лайнландии подобного гениального ученого нет, да и не может быть. Нельзя ожидать, что столь примитивные существа, как лайнландцы, в достаточной мере владеют геометрическими понятиями. Но мы, двумерные существа, знаем, что означает «перпендикулярное направление», и, следовательно, наиболее разумные из нас в состоянии проследить за рассуждениями и дальше. Сделаем теперь еще один шаг и мысленно представим себе, что квадрат может перемещаться в некотором третьем направлении, воспринимать которое нам не дано. Разумом мы можем вообразить такое движение, но представить себе его наглядно не в наших силах. Итак, предположим, что квадрат, двигаясь в направлении, перпендикулярном нашему пространству, проходит расстояние, равное, любой из его сторон. Тогда мы получим некое трехмерное тело — гиперквадрат, или куб. По своему строению это тело весьма правильно. У него восемь вершин и двенадцать граничных линий.
— Почему у гиперквадрата двенадцать граничных линии? — спросил я. Вопрос был задан с умыслом: мне хотелось проверить, повторяет ли мой сын сведения, почерпнутые им в книге своего прадеда, или ему удалось до конца разобраться в прочитанном и он сумеет привести аргументы, подтверждающие правильность высказанных им утверждений.
— В этом нетрудно убедиться, — последовал ответ. — У квадрата в исходном положении имеются четыре граничные линии (его стороны) и столько же граничных линий в конечном положении. Таким образом, восемь граничных линий мы уже насчитали. Кроме того, у квадрата имеются четыре вершины, каждая из которых при перемещении квадрата вдоль третьего направления опишет по одной граничной линии. Следовательно, общее число граничных линий у трехмерного тела, называемого гиперквадратом, или кубом, равно двенадцати.
— Да, у куба двенадцать ребер, как принято называть граничные линии в Трехмерии, — вставил я.
— Но самое замечательное, — продолжал мой сын, — заключается в том, что куб ограничен плоскими фигурами, квадратами. Всего таких квадратов шесть, причем каждая точка, лежащая внутри любого из шести квадратов, принадлежит наружной поверхности куба. Нам, флатландцам, трудно представить себе, что точка, лежащая внутри квадрата, в то же время может принадлежать наружной поверхности трехмерного тела, но тем не менее это действительно так. Таким образом, у куба имеется шесть вершин, двенадцать ребер и шесть граней, все точки которых, в том числе и внутренние, принадлежат его наружной поверхности.
— Ну что же, с твоими рассуждениями нельзя не согласиться, — снова прервал я сына. — Однако теперь ничто не мешает нам продвинуться еще на одни шаг вперед и мысленно представить себе то, что получится, если мы вздумаем сдвинуть куб вдоль четвертого направления, перпендикулярного трем первым.
— Получится четырехмерное тело, — сказал мой сын, — которое можно было бы назвать гиперкубом. Разумеется, мы не можем представить его себе наглядно.
— Более того, даже трехмерные существа не могли бы представить себе гиперкуб наглядно. Им не оставалось бы ничего другого, как прибегнуть к умозаключениям и выводить свойства куба путем абстрактных рассуждений — так же, как мы рассуждаем о кубе, будучи не в силах представить себе его наглядно. Позволительно спросить, какими элементами ограничен такой гиперкуб?
— Прежде всего ясно, что у гиперкуба шестнадцать вершин, поскольку у куба имеется восемь вершин в исходном и столько же вершин в конечном положении. Восемь и восемь как раз дает шестнадцать вершин.
— А сколько у гиперкуба ребер?
— Тридцать два.
— Почему?
— У куба в исходном положении двенадцать ребер, и столько же ребер у куба в конечном положении. Таким образом, двадцать четыре ребра мы уже насчитали. Кроме того, каждая из восьми вершин куба, двигаясь, опишет отрезок прямой, который также служит ребром гиперкуба. Следовательно, всего у гиперкуба имеется тридцать два ребра.
— А сколько у гиперкуба плоских граней?
— Двадцать четыре: шесть граней у куба в исходном положении, еще шесть — у куба в конечном положении, и каждое из двенадцати ребер при движении также заметает по одной грани. Вот всего и набирается двадцать четыре грани.
— Ты перечислил все элементы гиперкуба?
— Нет, самое главное впереди. Гиперкуб ограничен восемью кубами. Каждая из граней исходного куба при движении породила по одному новому кубу. Вместе с кубом в исходном и кубом в конечном положении мы получаем всего восемь кубических граней. Таким образом, гиперкуб ограничен восемью кубами, все точки которых, в том числе и внутренние, лежат на наружной поверхности гипертела. Разумеется, представить себе наглядно, как это происходит, мы не в состоянии.
— Трехмерные существа также не в силах представить себе такую картину.
— Мы вполне могли бы продолжить наши рассуждения, — заметил мой сын, — и заставить гиперкуб перемещаться вдоль пятого направления, но какое тело при этом получится, представить себе даже мысленно довольно трудно.
— Почему? — возразил я. — Мы получим пятимерное тело, обладающее весьма правильным строением, с тридцатью двумя вершинами, восемьюдесятью ребрами, восемьюдесятью плоскими, сорока кубическими и десятью гиперкубическими гранями. Правда, я не могу не согласиться с тем, что чем дальше, тем сложнее будут получаться гипертела.
Мы оба замолчали и погрузились в размышления. Я был горд своим сыном, который так хорошо разбирался в многомерной геометрии — отрасли науки, которой занимались многие члены нашего семейства. Занятие многомерной геометрией стало своего рода семенной традицией в честь нашего великого предка, замечательного Квадрата.
Мой сын первым нарушил молчание:
— В настоящее время мы не можем ответить на вопрос, является ли все это
