углом, и что своим толчком она заставит тело
С двигаться по прямой линии
FBAG по направлению к
G, т. е. по стороне
АВ, продолженной в бесконечность. Но мы взяли здесь шестиугольник совершенно произвольно, то же верно и для всякой иной фигуры, которую можно себе представить вписанной в круг. Именно: если тело
С, находящееся в покое на одной стороне фигуры, получит толчок от линейки
DBE в то мгновение, когда она пересекает эту сторону под прямым углом, то тело будет приведено линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной в бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т. е. круг, по определению Архимеда), то очевидно, что линейка
DBE, где бы она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому она никогда не встретит тела
С, не приведя его одновременно в движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно продолженная сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т. е. круга, будет всегда касательной. Если же представить себе вместо линейки пращу, движущуюся в круге, то она постоянно будет приводить камень в движение в направлении касательной, что и требовалось доказать.
Фиг. 11
Следует заметить, что оба доказательства можно отнести к любой криволинейной фигуре.
Теорема 17
Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от центра круга, который оно описывает.
Доказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в движение внешней причиной, с прекращением которой оно продолжает двигаться в направлении касательной (по предыдущей теореме), все точки которой, кроме той, где она касается круга, лежат вне круга (по т. 16, кн. II «Элементов» Евклида) и потому дальше отстоят от него. Поэтому камень, находящийся в праще ЕА и движущийся по кругу, когда он находится в точке А, стремится двигаться по прямой, все точки которой отстоят от центра Е дальше, чем все точки окружности LAB, т. е. он стремится удалиться от центра описываемого им круга, что и требовалось доказать.
Фиг. 12
Теорема 18
Если тело, например А, движется к покоящемуся телу В, а В, несмотря на толчок А, не теряет своего покоя, то и В не потеряет ничего из своего движения, но удержит вполне то же количество движения, какое оно имело раньше.
Доказательство. Если кто оспаривает это, то допустим, что тело А теряет нечто из своего движения, не перенося потерянного движения на другое тело, например В. Тогда в природе окажется меньшее количество движения, чем прежде, что нелепо (по т. 13, ч. II). Таково же доказательство в отношении к покою тела В. Поэтому если ни одно из обоих тел ничего не переносит на другое, то В сохранит весь свой покой, а А все свое движение, что и требовалось доказать.
Теорема 19
Движение, рассматриваемое само по себе, отлично от своего определения следовать в том или другом направлении к определенному месту, и вовсе не необходимо, чтобы тело, движущееся или отталкиваемое в противоположную сторону, некоторое время покоилось.
Доказательство. Предположим, как в предыдущей теореме, что тело А движется по прямой линии к телу В и удерживается от дальнейшего движения телом В. При этом оно (по предыдущему) сохранит все свое движение и ни минуты не будет в покое. Но при продолжении своего движения оно не может удержать прежнего направления, так как, по допущению, оно задержано телом В. Поэтому оно, не уменьшая своего движения, но лишь изменяя свое направление, будет двигаться в противоположном направлении (согласно сказанному в гл. 2 «Диоптрики»). Поэтому (по акс. 2) направление не принадлежит сущности движения, но отлично от нее, и движущееся тело, отталкиваясь таким образом, ни минуты не остается в покое, что и требовалось доказать.
Королларий. Отсюда следует, что ни одно движение не противоречит другому.
Теорема 20
Если тело А встречает тело В и увлекает его за собой, то А потеряет столько движения, сколько В при этой встрече получит от А.
Доказательство (см. фиг. 1). Если кто-нибудь оспаривает это, то он тем самым допускает, что В получает больше или меньше движения, чем А теряет, тогда вся эта разница должна увеличить или уменьшить количество движения всей природы, что (по т. 13, ч. II) нелепо. Таким образом, если тело В не может получить ни меньше, ни больше, то оно может получить лишь столько, сколько А теряет, что и требовалось доказать.
Теорема 21
Если тело А вдвое больше тела В и движется с такой же скоростью, то тело А будет иметь вдвое больше движения, чем В, или вдвое больше силы, чтобы удержать равную с В скорость (см. фиг. 1).
Доказательство. Предположим, например, вместо А два В, т. е. (по допущению) А, разделенное на две части; тогда каждое из этих двух В будет иметь силу оставаться в том состоянии, в котором оно находится (по т. 14, ч. II), и эта сила в обоих одинакова (по предположению). Если же оба этих В связаны, то возникнет одно А, сила которого или количество равны обоим В, или вдвое больше одного В, что и требовалось доказать.
Впрочем, это следует также из простого определения движения. Именно: чем больше движущееся тело, тем более материи может отделиться от другого тела, следовательно, будет более отделения, т. е. (по опр. 8) более движения. См. наше четвертое замечание относительно определений движения.
Теорема 22
Если тело А равно телу В и движется вдвое скорее В, сила или движение в А будет вдвое больше, чем в В.
Доказательство. Допустим, что тело В при первоначальном его приведении в движение получило четыре степени скорости. Если к этому ничего не присоединится, то оно будет продолжать свое движение (по т. 14, ч. II) и оставаться (perseverare) в своем состоянии. Теперь предположим, что оно, благодаря новому толчку, равному первому, получает новую силу; тогда, кроме первых четырех степеней, оно получит новые четыре степени скорости, которые оно также удержит (по той же теореме), т. е. оно будет двигаться вдвое скорее или со скоростью, равной А, и одновременно будет иметь силу вдвое больше прежней, т. е. равную силе А. Следовательно, движение А вдвое больше движения В, что и требовалось доказать.
Надо заметить, что под силой в движущихся телах мы разумеем здесь количество движения,
