Всевидящий глаз компьютера HAL 9000 из фильма «Космическая одиссея 2001 года»
16 = 4. Модульная арифметика и математика шифра Цезаря
16 = 4? 2 = 14? Это не ошибка и не какая-то странная система счисления. Работа шифра Цезаря может быть проиллюстрирована теорией, которая привычна для математики и в еще большей степени для криптографии — модульной арифметикой, иногда называемой часовой арифметикой. Эта теория появилась еще в работах греческого математика Евклида (325–265 гг. до н. э.) и является одной из основ современной информационной безопасности. В этом параграфе мы расскажем о базовых математических понятиях, связанных с этим особым типом арифметики.
Возьмите в качестве примера обычные часы со стрелками и сравните их с цифровыми часами. На часах со стрелками циферблат разделен на 12 частей, которые мы обозначим числами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, И. В следующей таблице можно видеть, как время на аналоговом циферблате соответствует времени после полудня на экране цифровых часов.
Когда мы говорим, например, что сейчас 14:00, мы можем также сказать, что сейчас два часа дня. Тот же принцип применяется и в случае измерения углов. Угол в 370 градусов равен углу в 10 градусов, потому что от первого значения мы должны вычесть полный оборот в 360 градусов. Заметим, что 370 = (1 х 360) + 10, то есть 10 является остатком от деления 370 на 360. Какой угол эквивалентен углу в 750 градусов? Вычитая соответствующее количество полных оборотов, мы получим, что угол в 750 градусов равен углу в 30 градусов. Мы видим, что 750 = (2 х 360) + 30, то есть 30 является остатком от деления 750 на 360. В математике это обозначается так:
750 30 (mod 360)
Мы говорим: «750 сравнимо с 30 по модулю 360». В случае с часами мы бы написали
14 2 (mod 12).
Мы также можем представить себе часы с отрицательными числами. В этом случае который будет час, когда стрелка показывает на —7? Или, другими словами, с каким числом сравнимо число —7 по модулю 12? Давайте посчитаем, учитывая, что на наших часах с циферблатом, разделенным на 12 частей, значение 0 соответствует 12.
— 7 = —7 + 0 = —7 + 12 = 5.
* * *
ОТЕЦ АНАЛИТИЧЕСКОЙ КРИПТОГРАФИИ
Основная работа Евклида Александрийского, «Начала», состоит из 13 томов, в которых излагаются основные факты планиметрии, теории пропорций, свойства чисел, сведения об иррациональных числах и стереометрии. Чаще всего ассоциируемые с этой последней теорией, работы греческого математика, связанные с арифметическими операциями на конечных числовых множествах, или операциями по модулю, являются одним из столпов современной теории криптографии. Известные и почитаемые еще арабскими учеными, работы Евклида впервые были изданы в Венеции в 1482 г. Вовсе не случайно, что и арабы, и венецианцы были великими мастерами криптографии.
* * *
ОПЕРАЦИИ ПО МОДУЛЮ
Как посчитать 231 по модулю 17 на калькуляторе?
Сначала мы разделим 231 на 17 и получим 13,58823529.
Затем найдем произведение 13 x 17 = 221. Таким образом мы избавимся от дробной части.
Наконец, найдем разность 231–221 = 10, получив остаток отделения.
Итак, 231 по модулю 17 равно 10. Этот результат записывается как 231 10 (mod 17).
* * *
Математика для расчетов на наших часах со стрелками, циферблат которых разделен на 12 частей, называется арифметикой по модулю 12. В общем случае мы говорим, что a b (mod m), если остаток от деления а на m равен b, при условии что а, b и m — целые числа. Число b сравнимо с остатком от деления а на m. Следующие утверждения эквивалентны:
a b (mod m)
b a (mod m)
а — b 0 (mod m)
а — b кратно m
Вопрос «Которому часу на часах со стрелками соответствует время 19 часов?» эквивалентен в математических терминах следующему вопросу: «С каким числом сравнимо число 19 по модулю 12?» Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны решить уравнение
19 х (mod 12).
Разделив 19 на 12, мы получим частное 1 и остаток 7, поэтому
19 7 (mod 12).
А в случае 127 часов? Разделив 127 на 12, мы получим частное 10 и остаток 7, поэтому
127 7 (mod 12).
Чтобы повторить изученное до сих пор, давайте рассмотрим следующие операции по модулю 7:
(1) 3 + 3 6
(2) 3 + 14 3
(3) 3 х 3 = 9 2
(4) 5 x 4 = 20 6
(5) 7 0
(6) 35 0
(7) -44 = -44 + 0 = -44 + 7 х 7 5
(8) -33 = -33 + 0 = -33 + 5 x 7 2
(1) 6 меньше, чем модуль, поэтому не меняется
(2) 3 + 14 = 17; 17: 7 = 2 и в остатке 3.
(3) 3 X 3 = 9; 9: 7 = 1 и в остатке 2.
(4) 5 х 4 = 20; 20: 7 = 2 и в остатке 6.
(5) 7 = 7; 7: 7 = 1 и в остатке 0.
(6) 35 = 35; 35: 7 = 5 и в остатке 0.
(7) -44 = -44 + 0; 44 + 7 х 7 5.
(8) -33 = -33 + 0; -33 + 5 x 7 2.
* * *
ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ ПО МОДУЛЮ 5 В EXCEL
Построить такую и подобные таблицы очень легко даже с базовыми знаниями офисной программы Excel. В нашем случае синтаксис функций для ячеек Excel (для столбцов и строк на нашем компьютере) показан ниже. Действие «остаток отделения числа на 5» переводится на язык Excel как «=ОСТАТ(число;5)». Конкретная операция по нахождению произведения 4 на 3 по модулю 5 записывается как «=ОСТАТ (4∙3;5)» и дает результат 2. Подобные таблицы очень помогают в расчетах по модульной арифметике.
* * *
Какая связь между модульной арифметикой и шифром Цезаря? Чтобы ответить на этот вопрос, мы запишем в таблице стандартный алфавит и алфавит со сдвигом на три буквы, добавив титульный ряд из 26 чисел.
Мы видим, что зашифрованное значение буквы под номером х (в стандартном алфавите) является буквой, стоящей на позиции х + 3 (также в стандартном алфавите). Поэтому необходимо найти преобразование, которое каждому числу ставит в соответствие число, сдвинутое на три единицы, и взять результат по модулю 26.
Заметим, что 3 является ключом нашего шифра. Таким образом, наша функция записывается как
C(х) = (х + 3) (mod 26),
где х — изначальное значение, а С(х) — зашифрованное значение. Теперь достаточно подставить вместо буквы ее числовое значение и применить трансформацию.
Возьмем в качестве примера слово PLAY и зашифруем его.
Буква Р стоит на позиции 15, С(15) = 15 + 3 18 (mod 26), а число 18 соответствует букве S.
Буква L стоит на позиции 11, С(11) = 11 + 3 14 (mod 26), а число 14 соответствует букве О.
Буква А стоит на позиции 0, С(0) = 0 + 3 3 (mod 26), а число 3 соответствует букве D.
Буква Y стоит на позиции 24, С (24) = 24 + 3 = 27 1 (mod 26), а число 1 соответствует букве В.
Таким образом, слово PLAY, зашифрованное с ключом 3, превратится в слово SODB.
В общем случае, если х означает позицию буквы, которую мы хотим зашифровать (0 для А, 1 для В, и т. д.), позиция зашифрованной буквы [обозначаемая С(х)] выражается формулой
С(х) = (х + k) (mod n),
где n — длина алфавита (26 в английском алфавите), a k — ключ, используемый в данном шифре.
Расшифровка такого сообщения включает в себя расчеты, обратные тем, что использовались для шифрования. В нашем примере расшифровка означает применение формулы, обратной той, что использовалась выше:
С-1(х) = (х — k) (mod n).
В случае сообщения SODB, зашифрованного шифром Цезаря с ключом 3 с применением английского алфавита, то есть k = 3 и n = 26, мы получим:
С-1(х) = (х — 3) (mod 26).
Применим эту формулу следующим образом:
Для S: х = 18, С-1(18) = 18 — 3 15 (mod 26), что соответствует букве Р.
Для О: х = 14, С-1(14) = 14 — 3 11 (mod 26), что соответствует букве L.
Для D: х = 3, С-1(3) = 3–3 0 (mod 26), что соответствует букве А.
Для В: x = 1, С-1(1) = 1–3 = —2 + 26 24 (mod 26), что соответствует букве Y.
Сообщение SODB, зашифрованное шифром Цезаря с ключом 3, соответствует, как мы уже знаем, оригинальному тексту PLAY.
