Рис. 10.1. Полностью разбалансированный двоичный справочник. Производительность его та же, что и у списка.
2-3 дерево определяется следующим образом: оно или пусто, или состоит из единственной вершины, или удовлетворяет следующим условиям:
• каждая внутренняя вершина имеет две или три дочерних вершины, и
• все листья дерева находятся на одном и том же уровне.
Двоично-троичным (2-3) справочником называется 2-3 дерево, все элементы данных которого хранятся в листьях и упорядочены слева направо. На рис. 10.2 показан пример. Внутренние вершины содержат метки, равные минимальным элементам тех или иных своих поддеревьев, в соответствии со следующими правилами:
• если внутренняя вершина имеет два поддерева, то она содержит минимальный элемент второго из них;
• если внутренняя вершина имеет три поддерева, то она содержит минимальные элементы второго и третьего поддеревьев.
Рис. 10.2. 2-3 справочник. Отмеченный путь показывает процесс поиска элемента 10.
При поиске элемента X в 2-3 справочнике мы начинаем с корня и двигаемся в направлении самого нижнего уровня, руководствуясь при этом метками внутренних вершин дерева. Пусть корень содержит метки M1 и M2, тогда
• если X < M1, то поиск продолжается в левом поддереве, иначе
• если X < M2, то поиск продолжается в среднем поддереве, иначе —
• в правом поддереве.
Если в корне находится только одна метка М, то переходим к левому поддереву при X < M и к правому поддереву — в противоположном случае. Продолжаем применять сформулированные выше правила, пока не окажемся на самом нижнем уровне дерева, где и выяснится, найден ли элемент X, или же поиск потерпел неудачу.
Так как все листья 2-3 дерева находятся на одном и том же уровне, 2-3 дерево идеально сбалансировано с точки зрения глубины составляющих его поддеревьев. Все пути от корня до листа, которые мы проходим при поиске, имеют одну и ту же длину порядка log n, где n — число элементов, хранящихся в дереве.
При добавлении нового элемента данных 2-3 дерево может расти не только в глубину, но и в ширину. Каждая внутренняя вершина, имеющая два поддерева, может приобрести новое поддерево, что приводит к росту вширь. Если же, с другой стороны, у вершины уже есть три поддерева, и она должна принять еще одно, то она расщепляется на две вершины, каждая из которых берет на себя по два из имеющихся четырех поддеревьев. Образовавшаяся при этом новая вершина передается вверх по дереву для присоединения к одной из выше расположенных вершин. Если же эта ситуация возникает на самом высоком уровне, то дерево вынуждено "вырасти" на один уровень вверх. Рис. 10.3 иллюстрирует описанный принцип.
Рис. 10.3. Вставление нового элемента в 2-3 справочник. Дерево растет сначала вширь, а затем уже вглубь.
Включение нового элемента в 2-3 справочник мы запрограммируем как отношение
доб23( Дер, X, НовДер)
где дерево НовДер получено введением элемента X в дерево Дер. Основную работу мы поручим двум дополнительным отношениям, которые мы назовем встав. Первое из них имеет три аргумента:
встав( Дер, X, НовДер).
Здесь НовДер — результат вставления элемента X в Дер. Деревья Дер и НовДер имеют одну и ту же глубину. Разумеется, не всегда возможно сохранить ту же глубину дерева. Поэтому существует еще одно отношение с пятью аргументами специально для этого случая:
встав( Дер, X, НДа, Mб, НДб).
Имеется в виду, что при вставления X в Дер дерево Дер разбивается на два дерева НДа и НДб, имеющих ту же глубину, что и Дер. Мб — это минимальный элемент из НДб. Пример показан на рис. 10.4.
Рис. 10.4. Объекты, показанные на рисунке, удовлетворяют отношению встав( Дер, 6, НДа, Мб, НДб).
2-3 деревья мы будем представлять в программе следующим образом:
• nil представляет пустое дерево;
• л( X) представляет дерево, состоящее из одной вершины — листа с элементом X;
• в2( Д1, М, Д2) представляет дерево с двумя поддеревьями Д1 и Д2; M — минимальный элемент из Д2;
• в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3) представляет дерево с тремя поддеревьями Д1, Д2 и Д3; M2 — минимальный элемент из Д2; М3 — минимальный элемент из Д3; Д1, Д2 и Д3 — 2-3 деревья.
Между доб23 и встав существует следующая связь: если после вставления нового элемента дерево не "вырастает", то
доб23( Дер, X, НовДер) :-
встав( Дер, X, НовДер).
Однако если после вставления элемента глубина дерева увеличивается, то встав порождает два поддерева Д1 и Д2, а затем составляет из них дерево большей глубины:
доб23( Дер, X, в2( Д1, М, Д2) ) :-
встав( Дер, X, Д1, М, Д2).
Отношение встав устроено более сложным образом, поскольку ему приходится иметь дело со многими случаями, а именно вставление в пустое дерево, в дерево, состоящее из одного листа, и в деревья типов в2 и в3. Возникают также дополнительные подслучаи, так как новый элемент можно вставить в первое, либо во второе, либо в третье поддерево. В связи с этим мы определим встав как набор правил таким образом, чтобы каждое предложение процедуры встав имело дело с одним из этих случаев. На рис. 10.5 показаны некоторые из возможных случаев. На Пролог они транслируются следующим образом:
Случай а
встав( в2( Д1, M, Д2), X, в2( НД1, M, Д2) ) :-
больше( M, X), % M больше, чем X
встав( Д1, X, НД1).
Случай b
встав( в2( Д1, M, Д2), X, в3( НД1а, Мб, НД1б, M, Д2) ) :-
больше( M, X),
встав( Д1, X, НД1а, Мб, НД1б).
Случай с
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в2( НД1а, Мб, НД1б), M2, в2(Д2, М3, Д3) ) :-
больше( M2, X),
встав( Д1, X, НД1а, Мб, НД1б).
Рис. 10.5. Некоторые из случаев работы отношения встав. (a) встав( в2( Д1, М, Д2), X, в2( НД1, М, Д2) ); (b) встав( в2( Д1, М, Д2), X, в3( НД1а, Мб, НД1б, М, Д2) ); (c) встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X, в2( НД1а, Мб, НД1б), M2, в2( Д2, М3, Д3) ).
% Вставление элемента в 2-3 справочник
доб23( Дер, X, Дер1) :- % Вставить X в Дер, получить Дер1
встав( Дер, X, Дер1). % Дерево растет вширь
доб23( Дер, X, в2( Д1, M2, Д2) ) :-
встав( Дер, X, Д1, M2, Д2). % Дерево растет вглубь
доб23( nil, X, л( X) ).
встав( л( А), X, л( А), X, л( X) ) :-
больше( X, А).
встав( л( А), X, л( X), А, л( А) ) :-
больше( А, X).
встав( в2( Д1, М, Д2), X, в2( НД1, М, Д2) ) :-
больше( М, X),
встав( Д1, X, НД1).
встав( в2( Д1, М, Д2), X, в3( НД1а, Мб, НД1б, М, Д2) ) :-
больше( М, X),
встав( Д1, X, НД1а, Мб, НД1б).
встав( в2( Д1, М, Д2), X, в2( Д1, М, НД2) ) :-
больше( X, М),
встав( Д2, X, НД2).
встав( в2( Д1, М, Д2), X, в3( Д1, М, НД2а, Мб, НД2б) ) :-
больше( X, М),
встав( Д2, X, НД2а, Мб, НД2б).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в3( НД1, M2, Д2, М3, Д3) :-
больше( M2, X),
встав( Д1, X, НД1).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в2( НД1а, Мб, НД1б), M2, в2( Д2, М3, Д3) ) :-
больше( M2, X),
встав( Д1, X, НД1а, Мб, НД1б).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в3( Д1, M2, НД2, М3, Д3) ) :-
больше( X, M2), больше( М3, X),
встав( Д2, X, НД2).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в2( Д1, M2, НД2а), Мб, в2( НД2б, М3, Д3) ) :-
больше( X, M2), больше( М3, X),
встав( Д2, X, НД2а, Мб, НД2б).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в3( Д1, M2, Д2, М3, НД3) ) :-
больше( X, М3),
встав( Д3, X, НД3).
встав( в3( Д1, M2, Д2, М3, Д3), X,
в2( Д1, M2, Д2), М3, в2( НД3а, Мб, НД3б) ) :-
больше( X, М3),
встав( Д3, X, НД3а, Мб, НД3б).
Рис. 10.6. Вставление элемента в 2-3 справочник. В этой программе предусмотрено, что попытка повторного вставления элемента терпит неудачу.
Программа для вставления нового элемента в 2-3 справочник показана полностью на рис. 10.6. На рис. 10.7 показана программа вывода на печать 2-3 деревьев.
Наша программа иногда выполняет лишние возвраты. Так, если встав с тремя аргументами терпит неудачу, то вызывается процедура встав с пятью аргументами, которая часть работы делает повторно. Можно устранить источник неэффективности, если, например, переопределить встав как
встав2( Дер, X, Деревья)
где Деревья — список, состоящий либо из одного, либо из трех аргументов:
