они простые». В случае с рассматриваемой нами теоремой Ферма написал, что нашел доказательство. Он упомянул об этом в 1637 г., а в 1994 г. ее доказали. Мы сидели на семинаре по алгебре. Пришел преподаватель и сказал: «У меня для вас потрясающая новость — доказана великая теорема Ферма». Все решили, что это розыгрыш, не может такого быть. Мы учимся на мехмате, и при нас происходит историческое событие. Если быть точнее, теорему доказал Эндрю Уайлз в 1993 г. Но затем в доказательстве им самим была найдена ошибка, которую Уайлз вместе с Ричардом Тейлором исправляли полгода. Поэтому окончательно теорема была доказана в 1994 году. Некоторое время были сомнения, и в 1996–1997 гг. не все были убеждены в том, что это свершилось, так как понять это доказательство могли лишь немногие из математиков. Сегодня можно утверждать, что понимают доказательство этой теоремы человек 500 в мире, детально — около 100 человек. Ежу понятно, что Ферма подобного доказательства выдумать не мог. Следовательно, или Ферма один раз ошибся, или мы до сих пор не знаем простого доказательства этой теоремы. Математики предпочитают соглашаться с первым утверждением, ибо второе позорно для всего человечества.
Ферма не оставил доказательства общего случая, но сохранились записи изящного доказательства для частного случая, для n = 4, гласящего, что уравнение x4 + у4 = z4 не имеет нетривиальных решений в целых числах.
Я не буду приводить этого доказательства, хотя оно и не очень сложное. Оно использует приемы делимости, что возвращает нас к нашей первой задаче (найти все пифагоровы тройки).
Итак, теорема Ферма: уравнение хn + уn= zn не имеет решений в натуральных числах. Давайте посмотрим, каким может быть число n.
Это число можно разложить на множители. Есть такая теорема, называется «Основная теорема арифметики», которая утверждает, что любое натуральное число можно единственным образом, с точностью до перестановки множителей, разложить в произведение простых чисел. Смотрим, делится ли n на 2. Делим, пока делится, получаем 2 в какой-то степени и оставшийся нечетный множитель. Если оставшийся множитель не простой, то мы раскладываем его дальше, пока не получим произведение простых чисел.
Например,
n = 2mn1n2 = 25 · 17 · 7 = 3808.
Почему процесс разложения на множители не может продолжаться до бесконечности? Каждый раз, когда мы раскладываем на множители, числа становятся всё меньше и меньше. Нельзя бесконечно долго уменьшать натуральное число. Это аксиома Архимеда, но для человека разумного это — очевидное утверждение.
Переименуем простые множители в p. Математики любят обозначать простые числа буквой p от английского «prime»:
n = 2mp1p2p3 ... pk.
Некоторые из множителей могут встречаться несколько раз. А может быть, у n есть какие-то другие множители, которые здесь не перечислены, и в результате оно одновременно равно какому-то другому произведению:
n = 2mp1p2p3 ... pk = q1q2q3 ... qk
Может ли такое быть, чтобы одно и то же число раскладывалось на простые множители «существенно по-разному» (несущественное отличие — например, 2 · 3 · 5 и 3 · 5 · 2)? Интуиция подсказывает, что нет, и интуиция права. Но доказать это аккуратно довольно сложно. Мы в это просто поверим и не будем проходить этой тернистой дорогой. Что же следует из единственности разложения на простые множители?
Есть два варианта. Либо у n есть хотя бы один нечетный простой делитель, то есть в записи:
n = 2mp1p2p3 ... pk
хотя бы одно p — нечетное. Второй вариант состоит в том, что ни одного нечетного числа нет. Поговорим сперва о втором варианте. Что можно сказать про n в этом случае? То, что n является степенью двойки. Если n = 2, мы получаем задачу про Пифагоровы треугольники, которую скоро решим в этой лекции. Если n ≠ 2, то оно представимо в виде 4 · k. Высшая степень двойки — это либо 4, либо 8 = 4 · 2, либо 16 = 4 · 4 и так далее. Получаем следующее уравнение:
x4k + y4k = z4k,
но, как известно,
x4k = (xk)4,
откуда получаем
(xk)4 + (yk)4 = (zk)4.
Если бы можно было решить это уравнение, то три натуральных числа хk, уk и zk образовали бы решение задачи Ферма x4+у4 = z4.
Но Ферма доказал, что такое уравнение не имеет решений в целых числах, строго больших нуля.
Поэтому случай теоремы Ферма для чисел n, являющихся какой-то степенью двойки, сводится к n = 2. В других случаях решений нет.
Вспомним, какой случай мы еще не рассмотрели: n содержит нечетный простой делитель p, n ≠ 1 (кстати, 1 тоже является степенью двойки), то есть n = pk. Тогда:
(xk)p + (yk)p = (zk)p.
Получается, что если у n есть простой нечетный делитель p, то несуществование решения уравнения Ферма с показателем n сводится к несуществованию решения уравнения степени p.
То есть теорема Ферма сводится к исследованию уравнения простой нечетной степени. И если мы знаем, что ни при каком простом нечетном n уравнение хn + уn = zn не имеет решения, то оно не имеет решения и ни при каком другом n ⩾ 3. А теперь — история вопроса.
Про уравнение второй степени было известно уже древним индусам. Уравнение третьей степени оказалось более сложным. Почти полное решение, которое потом довели до конца, было получено Леонардом Эйлером. В лекции 4 я расскажу, каким изящнейшим путем доказывается теорема несуществования для некоторого уравнения третьей степени (не связанного напрямую с теоремой Ферма), но сначала про пятую степень:
х5 + у5 = z5.
Неразрешимость уравнения пятой степени в целых числах была доказана в XIX веке. Потом стали увеличивать показатели и доказывать про седьмую, одиннадцатую, тринадцатую степени. Дошли примерно до сотни. Особо отличились женщина-математик Софи Жермен, а также Куммер, потративший на теорему Ферма добрую половину своей весьма долгой жизни (1810–1893).
При решении уравнения Ферма выделяют два разных случая: регулярный и специальный (нерегулярный).
Регулярный случай: ни одно из чисел x, y, z не делится на p. Специальный случай: одна из переменных делится на p, а две другие — нет. (Если две переменные делятся на p, то и третья переменная обязательно делится на p. Например, если x и y делятся на p,
