Читаем без скачивания Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

где N = число «ног» (число составляющих сложной позиции);

HPR(T, U) = HPR для тестируемых значений Т и U;

C(T, U) = коэффициент i-ой «ноги» при данном значении U, когда время, оставшееся до истечения срока, равно Т.

Для опционных «ног», занесенных в дебет, или длинной позиции по базовому инструменту:

Для опционных «ног», занесенных в кредит, или короткой позиции по базовому инструменту:

где f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона или базового инструмента;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инструмента равна U - Y, а время, оставшееся до срoка истечения, равно Т;

Р(Т, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока испол­нения, равно Т;

Y = разность между арифметическим математическим ожиданием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Уравнение (5.22) следует использовать, когда речь идет об одновременно исполь­зуемых «ногах», и вам необходимо найти оптимальное f и оптимальную дату вы­хода по всей позиции (т.е. когда речь идет об одновременной торговле по несколь­ким позициям).

Для каждого значения U вы можете найти HPR с помощью уравнения (5.22), а для каждого значения f вы можете найти среднее геометрическое, составленное из всех HPR, с помощью уравнения (5.18а):

где G(f, Т) = среднее геометрическое HPR для данного тестируемого зна­чения f и для данного времени, остающегося до истечения срока от указанной даты выхода. Значения f и Т, которые дают наивысшее среднее геометрическое, являются значе­ниями, которые следует использовать для всего набора од­новременных позиций.

Подведем итог. Нам надо найти оптимальное f для каждого дня (между теку­щим днем и днем истечения) как дня выхода. Для каждой даты выхода необхо­димо определить цены между плюс и минус Х стандартных отклонений (обыч­но Х будет равно 8) от базовой цены базового инструмента. Базовая цена мо­жет быть текущей ценой базового инструмента, или же она может быть скорректирована для учета ценового тренда. Теперь вам надо найти значение для f между 0 и 1, которое даст наибольшее среднее геометрическое HPR, ис­пользуя HPR для цен между плюс и минус Х стандартных отклонений от базо­вой цены для указанной даты выхода. Таким образом, для каждой даты выхода у вас будет оптимальное f и соответствующее среднее геометрическое. Дата выхода, которая дает наибольшее среднее геометрическое, является опти­мальной датой выхода из позиции, и f, соответствующее этому среднему гео­метрическому, является оптимальным f. Структура этой процедуры следующая:

Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения

Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)

Для каждой рыночной системы

Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями

Определите HPR

Следует отметить, что мы можем определить оптимальную дату выхода, т.е. дату, когда следует закрыть всю позицию. Можно применить эту же процедуру для на­хождения оптимальной даты выхода для каждой «ноги» (отдельной позиции), что, правда, геометрически увеличит число расчетов. Тогда процедура несколько изменится и будет выглядеть следующим образом:

Для каждой рыночной системы

Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения

Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)

Для каждой рыночной системы

Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями

Определите HPR

Итак, мы рассмотрели одновременную торговлю по нескольким позициям при наличии причинной связи. Теперь рассмотрим ситуацию, когда связь случайна.

Торговля по нескольким позициям при наличии случайной связи

Вы должны знать, что, как и в случае с причинной связью, методы, упомянутые в следующей главе, посвященной корреляционным связям, применимы и для слу­чайных связей. Но не наоборот. Неправильно применять методы для случайных связей к корреляционным связям (когда коэффициенты корреляции не равны 0). При случайной связи коэффициент корреляции между ценами двух инструментов всегда равен 0.

Случайная связь между двумя торгуемыми инструментами (акции, фьючерсы, опционы и т.д.) имеет место в том случае, если их цены не зависят друг от друга, т.е. коэффициент корреляции цен равен нулю, или ожидается, что он будет равен нулю в асимптотическом смысле.

Когда коэффициент корреляции двух составляющих равен О, HPR для совокуп­ной позиции рассчитывается следующим образом:

где N = число «ног» позиции;

HPR(T, U) = HPR для данного тестируемого значения Т и U;

С. (Т, U) = коэффициент i-ой «ноги» при данном значении U, когда время, оставшееся до истечения срока, равно Т.

Для опционных «ног», занесенных в дебет, или длинной позиции по базовому инструменту:

Для опционных «ног», занесенных в кредит, или короткой позиции по базовому инструменту:

где f = тестируемое значение f;

S = текущая цена опциона;

Z(T, U - Y) = теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Pj(T, U) = вероятность того, что базовый инструмент равен U, когда время, оставшееся до истечения срока исполне­ния, равно Т;

Y = разность между арифметическим математическим ожи­данием базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и текущей ценой.

Теперь мы можем рассчитать среднее геометрическое HPR для случайной связи:

где G(f, Т) = среднее геометрическое HPR для данного тестируе­мого значения f и данного времени Т, остающегося до истечения срока от указанной даты выхода. Зна­чения f и Т, которые дают наибольшее среднее геометрическое, оптимальны. Структура этой процедуры такая же, как и в случае с причинной связью:

Для каждой даты выхода между текущей датой и датой истечения

Для каждого значения f (пока не будет найдено оптимальное)

Для каждой рыночной системы

Для каждого тика между +8 и -8 стандартными отклонениями

Определите HPR

Единственное различие между процедурой нахождения среднего геометрического для случайных связей и процедурой для причинных связей состоит в том, что пока­затель степени для каждого HPR при случайной связи рассчитывается путем умно­жения вероятностей того, что «ноги» будут находиться на данной цене определен­ного HPR. Все эти суммы вероятностей, используемые в качестве показателей сте­пени для каждого HPR, сами по себе также суммируются, так что, когда все HPR перемножены для получения промежуточного TWR, его можно возвести в степень единицы, деленной на сумму показателей степени, используемых в HPR. И снова процедуру можно изменить, чтобы найти оптимальные даты выхода для каждой составляющей позиции.

Несмотря на всю сложность, уравнение (5.25) все-таки не решает проблему ненулевого коэффициента линейной корреляции между ценами двух компо­нентов. Как видите, определение оптимальных весов компонентов является до­вольно сложной задачей! В следующих нескольких главах вы увидите, как найти правильные веса для каждой составляющей позиции, будь то акция, товар, опцион или любой другой инструмент, независимо от связи (причинная, случай­ная или корреляционная). Входные данные, которые нам потребуются, следую­щие: (1) коэффициенты корреляции средних дневных HPR позиций в портфеле на основе 1 контракта, (2) арифметические среднее HPR и стандартные откло­нения HPR.

Уравнения (5.14) и (5.20) показывают, как находить HPR для длинных и коротких позиций по опционам. Уравнение (5.18) показывает, как находить среднее геометри­ческое. Мы можем также определить среднее арифметическое:

Для длинных опционных позиций, т.е. отнесенных в дебет:

Для коротких опционных позиций, т.е. отнесенных в кредит:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

f= оптимальное f (от 0 до 1);

S= текущая цена опциона;

Z(T, U - Y)= теоретическая цена опциона, когда цена базового инстру­мента равна U - Y, а время, оставшееся до срока истечения, равно Т;

Р(Т, U) = вероятность, что базовый инструмент равен U, когда время, ос­тавшееся до истечения срока исполнения, равно Т;

Y= разность между арифметическим математическим ожидани­ем базового инструмента (согласно уравнению (5.10)) и теку­щей ценой.

Зная среднее геометрическое HPR и среднее арифметическое HPR, можно опре­делить стандартное отклонение значений HPR:

где А = арифметическое среднее HPR;

G = геометрическое среднее HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

В этой главе мы познакомились еще с одним способом расчета оптимального f. Предложенный метод подходит для несистемных трейдеров. В виде входного па­раметра здесь используется распределение результатов по базовому инструменту к определенной дате в будущем. Данный подход позволяет найти оптимальное f как для отдельных опционных позиций, так и для сложных позиций. Существен­ным недостатком метода является то, что связи между всеми позициями должны быть случайными или причинными.