В основном тексте и далее в Дополнениях мы используем понятия скалярного, векторного и тензорного полей. Чтобы не было дискомфорта при встрече с этими терминами, дадим некоторые пояснения. Лучше начать с вектора. В обычном 3-мерном пространстве он определяется тремя компонентами – проекциями на оси x, y, z. Если представить себе n-мерное пространство, то для определения в нем вектора нужно задать набор n компонент. Тогда говорят, что задано поле вектора и его обозначают, например, va, где a пробегает все координаты, от 1 до n, в общем случае, если мы их пронумеровали. А все n значений va и есть те самые n компонент, часто их записывают в виде строки va = [v1, v2, …, vn–1, vn] или столбца
Величина va (набор значений) с одним индексом называется тензором 1-го ранга. Поле скаляра, в отличие от вектора, в каждой точке пространства, независимо от его размерности, имеет одну компоненту (функцию от пространственных координат) и записывается как величина без индексов, скажем, v. Скаляр, как величина без значков, является тензором нулевого ранга. В тексте очень часто встречается понятие метрического тензора gab, который и описывает гравитационное поле. Теперь, имея представление о векторе и скаляре, как о тензорах, смело можно говорить, что метрика – это тензор 2-го ранга и все его компоненты объединены в матрицу. В 4-мерном пространстве-времени это выглядит так:
В силу симметрии gab = gba независимых компонент из 16-ти остается 10. Поле метрического тензора задано, если в каждой точке пространства-времени задано 10 функций, представляющих эту матрицу. Аналогичные рассуждения справедливы для других тензоров второго ранга. Если бы мы хотели рассмотреть какой-нибудь тензор 3-го ранга, мы должны были представить величину с 3-мя индексами, а ей сопоставить 3-мерную матрицу (куб). Важно отметить, что все тензоры обладают общим свойством: при преобразованиях координат они преобразуются по специальному тензорному закону, сохраняя свою прежнюю структуру. Нетензорные величины при преобразованиях координат обычно приобретают дополнительные (по отношение к тензорным) слагаемые.
2. Материальные источники
В тексте обсуждается и утверждается, что искривление пространства-времени – это результат воздействия материальных источников. Что они собой представляют и как представлены формально? Эти источники являются материей в самом общем понимании. Они включают в себя все вещество, которое может быть сосредоточено в отдельных телах или распределено дисперсно, и все возможные поля, как статические, так и поля излучения. Обсуждая специальную теорию относительности, мы уже отметили, что энергию и импульс в релятивистской теории нельзя рассматривать отдельно, а правильно рассматривать 4-мерный вектор энергии-импульса, скажем, материальной частицы. Но оказывается, что в искривление пространства-времени свой вклад вносят и другие характеристики материи, такие как напряжения внутри тел, давление Все вместе они образуют тензор энергии-импульса материи Tab.
Далее нам необходимо вспомнить об уравнении непрерывности. Суть его в том, что изменения со временем плотности вещества в данной точке равно скорости притока и оттока со всех сторон. Это один из законов сохранения, иначе его называют уравнением баланса, и он является следствием уравнений движения для вещества. Обобщение этого закона для всего тензора энергии-импульса в искривленном пространстве-времени означает, что он также должен удовлетворять закону сохранения.
3. Построение уравнений Эйнштейна
Теперь мы в состоянии построить уравнения гравитации в ОТО. Как мы рассказали в главе 6, в начале XX века было постулировано, что гравитационное взаимодействие выражается в искривлении пространства-времени. При этом пространство-время искривляется под воздействием материи, которая, в свою очередь, движется в этом искривленном собой пространстве-времени. Это и есть логическая основа для построения уравнений общей теории относительности. Но как их построить правильно?
Логика очевидна: нужно связать тензор энергии-импульса материи с кривизной пространства-времени. Самый простой и очевидный способ: отнести Tab в правую часть уравнений, а левую определить как некую комбинацию компонент тензора кривизны. Но как это сделать? Дело в том, что все уравнения вместе (гравитационные уравнения и уравнения для материи) должны быть совместны, иначе не будет существовать решений. Но как мы уже отметили, анализ уравнений материи в искривленном пространстве-времени приводит к выводу, что тензор энергии-импульса материи должен удовлетворять закону сохранения (непрерывности). Но тогда, чтобы все уравнения были совместны, нужно найти такую комбинацию из величин, связанных с кривизной, и которую мы собираемся написать в левой части уравнений, чтобы она тождественно удовлетворяла такому же закону сохранения. Такая комбинация была найдена – это так называемый тензор Эйнштейна Gab, построенный из компонент тензора Римана, а в конечном итоге зависящий от метрического тензора. Тогда уравнения для гравитационного поля записываются в виде:
Gab = κTab.
Здесь κ – постоянная Эйнштейна, которая выражается через ньютонову гравитационную постоянную G и скорость света c: κ = 8πG/c4. Эти уравнения были построены и представлены Эйнштейном в работах 1915 и 1916 годов на основании сображений, изложенных выше. Практически одновременно они были представлены немецкими математиком Давидом Гильбертом.
4. Решение уравнений Эйнштейна
Но если есть уравнения, значит их нужно решать. То есть при ограничениях и условиях каждой конкретной задачи или модели нужно найти метрические коэффициенты в каждой точке пространства-времени и тем самым определить его геометрические свойства. Также необходимо найти, как в этом пространстве-времени распределена, движется и взаимодействует материя. Система гравитационных и материальных уравнений решается одновременно. Если можно так сказать, материя, искривляя пространство-время, распространяется в этом уже искривленном собой пространстве-времени. То есть процесс «сцепленный». Именно поэтому изначально система гравитационных и материальных уравнений строилась как совместная. Однако чтобы система имела решения, нужно чтобы условия и ограничения модели также не были противоречивыми.
Уравнения Эйнштейна носят локальный характер, как и многие другие уравнения физики. Это значит, что величины, которые в них входят, относятся по отдельности к каждой точке пространства-времени (или его части), где модель определена или задача рассматривается. В этой связи рассуждения, которые привели к уравнениям, требуют дальнейшего пояснения. Может показаться, что если в некоторой точке (и ее окрестности) нет материи, то в этой окрестности нет и кривизны. Это, конечно, неправильный вывод. Связь материи и искривленности пространства-времени была использована, чтобы построить непротиворечивую (совместную) систему уравнений. После того как уравнения представлены, решать их можно (и нужно) и с нулевой правой частью тоже, то есть в отсутствие материи вообще. Эти решения называют вакуумными. Действительно, гравитирующее тело должно «продавливать» пространство-время не только в той части, где оно находится, но и на достаточном удалении, где никакой материи нет, то есть в вакууме. В противном случае просто не будет гравитационного взаимодействия. По этому поводу полезно привести аналогию с упругой плоской линейкой: ее нельзя изогнуть только в одном месте, поскольку это будет означать, что она просто сломана. Так и здесь, если бы материя никак не прогибала окружающий вакуум, то на границе всегда возникали бы разрывы в описании различных физических величин, чего не наблюдается.
Уравнения в вакууме нужно решать, чтобы узнать насколько этот вакуум «продавлен» соседней материей. Наконец, некоторые решения вакуумных уравнений представляют такие важные решения, как гравитационные волны, которые представляют собой свободное (без всякой материи) распространение метрических возмущений, о чем говорится в главе о гравитационных волнах.
Как только уравнения были получены, Эйнштейн стал искать их важные решения, в том числе и космологические. В то время считалось, что Вселенная статична. А статическое космологическое решение никак не получалось – как выяснилось, оно просто не существует. Чтобы спасти статическое решение, Эйнштейн немного изменил уравнения. Это оказалось возможным без нарушения закона сохранения для левой части. К тензору Эйнштейна можно добавить член с так называемой космологической постоянной – Λ. Уравнения Эйнштейна в 1917 году приобрели вид:
