Если g — окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z 0 (такая, что внутри неё функция f (z ) не имеет особых точек, отличных от z 0 ), то
Важное значение вычетов вытекает из следующей теоремы. Пусть f (z ) — однозначная аналитическая функция в области D , за исключением изолированных особых точек, Г — простая замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая области D вместе со своей внутренностью и не проходящая через особые точки функции f (z ); если z 1 ,..., z n — все особые точки f (z ), лежащие внутри Г , то
Поскольку вычеты вычисляются сравнительно просто, эта теорема является эффективным средством для нахождения интегралов.
Лит. см. при статье Аналитические функции .
А. А. Гончар.
Вычислимая функция
Вычисли'мая фу'нкция, одно из основных понятий теории алгоритмов. Функция f называется вычислимой, если существует алгоритм , перерабатывающий всякий объект х , для которого определена функция f, в объект f (x ) и не применимый ни к какому x , для которого f не определена. Примеры: х — натуральное число, f (x ) = х 2 ; x — пара рациональных чисел x 1 и x 2 , f (x ) = x 1 : x 2 (эта функция определена лишь для тех x , у которых x 2 ¹0); X — пара матриц X 1 и X 2 с целочисленными элементами, f (X ) = X 1 X 2 (эта функция определена лишь для тех X , у которых число стоблцов в X 1 совпадает с числом строк в X 2 ). Аргументами и значениями В. ф. могут быть лишь так называемые конструктивные объекты (см. Конструктивное направление в математике) (ибо лишь с такими объектами могут оперировать алгоритмы); таким образом, функция f такая, что f (x ) º х не является вычислимой, если её рассматривать на всей действительной прямой, но является вычислимой, если её рассматривать как функцию натурального или рационального аргумента. В. ф., областью определения которой служит натуральный ряд, называется вычислимой последовательностью.
В. А. Успенский.
Вычислительная математика
Вычисли'тельная матема'тика, раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием электронных вычислительных машин (ЭВМ). Содержание термина «В. м.» нельзя считать установившимся, так как эта область интенсивно развивается в связи с быстро растущими применениями ЭВМ в новых направлениях. Часто термин «В. м.» понимается как теория численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач. Это толкование термина «В. м.» получило распространение на первоначальном этапе, когда использование ЭВМ предъявило новые требования к численным методам; основной задачей на этом этапе была разработка новых методов, «удобных» для ЭВМ. Ниже В. м. понимается в первом — широком смысле этого термина.
В В. м. можно выделить следующие три больших раздела. Первый связан с применением ЭВМ в различных областях научной и практической деятельности и может быть охарактеризован как анализ математических моделей. Второй — с разработкой методов и алгоритмов решения типовых математических задач, возникающих при исследованиях математических моделей. Третий раздел связан с вопросом об упрощении взаимоотношений человека с ЭВМ, включая теорию и практику программирования задач для ЭВМ, в том числе автоматизацию программирования задач для ЭВМ.
Анализ математических моделей включает в себя изучение постановки задачи, выбор модели, анализ и обработку входной информации, численное решение математических задач, возникающих в связи с исследованием модели, анализ результатов вычислений, и, наконец, вопросы, связанные с реализацией полученных результатов. Задача выбора модели должна решаться с учётом следующего требования. Степень достоверности, с которой результаты анализа модели позволяют исследовать конкретное явление (или класс явлений), должна соответствовать точности исходной информации. При этом с появлением возможности получать более точную информацию обычно возникает необходимость совершенствования построенной модели, а в ряде случаев даже коренной её замены. Для этих задач приобретает существенное значение обработка исходной информации, что в большинстве случаев требует привлечения методов математической статистики. Математические модели сыграли важную роль в развитии естествознания; в настоящее время использование математических моделей является существенным фактором в широком диапазоне человеческой деятельности (в том числе в вопросах управления, планирования, прогнозирования и т.д.).
Изучение реальных явлений на основе анализа построенных моделей, как правило, требует развития численных методов и привлечения ЭВМ. Таким образом, в В. м. важное место занимают численные методы решения поставленных математических задач и в первую очередь типовых математических задач (В. м. в узком смысле слова).
В качестве примера типовых математических задач, часто встречающихся в приложениях, можно назвать задачи алгебры: здесь большое значение имеют численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (в частности, больших систем), обращение матриц, нахождение собственных значений матриц (как нескольких первых значений — ограниченная проблема собственных значений, так и нахождение всех собственных значений — полная проблема собственных значений). Другие примеры — численные методы дифференцирования и интегрирования функций одного или нескольких переменных; численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (сюда включают, в частности, изучение и сравнительный анализ численных методов различных типов, например, Адамса, Рунге — Кутта). Значительное число исследований посвящено численным методам решения уравнений с частными производными. Здесь большое направление составляют «экономичные методы», т. е. методы, позволяющие получать результаты при относительно малом (экономном) числе операций.
Быстро развивающимся направлением В. м. являются численные методы оптимизации. Задача оптимизации состоит в изучении экстремальных (наибольших или наименьших) значений функционалов на множествах, как правило, весьма сложной структуры. В первую очередь следует упомянуть задачи математического программирования (в том числе линейного и динамического), к которым сводятся многие задачи экономики. К задачам оптимизации примыкают минимаксные задачи (и соответствующие численные методы), возникающие при решении задач исследования операций (см. Операций исследование ) и теории игр (см. Игр теория ). Особенно сложные задачи типа minmaxminmax возникают при решении многошаговых (динамически развивающихся) игр. Здесь даже математический эксперимент (проигрывание вариантов поведения играющих) невозможен без использования мощных ЭВМ.
Применение ЭВМ к решению сложных задач, в особенности задач больших размеров, вызвало к жизни одно из главных направлений в теории численных методов — исследования устойчивости методов и алгоритмов к различного рода ошибкам (в том числе к ошибкам округления).
Обратные задачи, например, задача определения элемента х из уравнения Ах = b при известной информации об операторе А и элементе b , часто являются неустойчивыми (некорректно поставленными) задачами (малым погрешностям во входных данных могут соответствовать большие погрешности в х ). Более того, обратные задачи часто имеют решение не для всех b , поэтому, задавая приближённое значение b , следует учитывать, что формально решение этой задачи может не существовать.
Неустойчивые задачи потребовали специального определения понятия приближённых решений и развития соответствующих методов для их нахождения. К неустойчивым задачам относится широкий класс задач, связанных с проблемами автоматизации обработки результатов экспериментов.
