Например, две тысячи лет назад Евклид доказал, что запас простых чисел неисчерпаем (см. гл. 2). Последние два столетия математики пытались доказать, что запас простых чисел-близнецов также неисчерпаем. Близнецами называют пары простых чисел, отличающихся на 2, т. е. являющихся ближайшими соседними простыми числами (простые числа не могут отличаться на 1, иначе одно из них должно было бы быть четным). Примерами небольших простых чисел-близнецов могут служить (5, 7), (11, 13) и (17, 19), примерами больших чисел-близнецов — (22271, 22273) и (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Существуют веские основания полагать, что множество простых чисел-близнецов бесконечно, но никому пока не удалось доказать, что это действительно так.
Самый большой прорыв к доказательству так называемой гипотезы простых чисел произошел в 1966 году, когда китайскому математику Чену Джинграну удалось показать, что существует бесконечное множество пар простых и почти простых чисел. У настоящих простых чисел нет делителей (отличных от самого числа и единицы), а почти простые числа уступают простым самую малость: у них существуют только два простых делителя. Например, число 17 простое, а число 21 (=3·7) — почти простое. Что же касается таких чисел, как 120 (=2·3·4·5), то они не простые и не почти простые, так как их можно представить в виде произведения нескольких простых множителей. Чен доказал, что существует бесконечно много случаев, когда простое число имеет в качестве близнеца либо другое простое число, либо почти простое число. Тот, кому удастся продвинуться еще на один шаг и снять оговорку «почти», совершит величайший прорыв в теории простых чисел со времен Евклида.
Еще одна загадка простых чисел восходит к 1742 году, когда Христиан Гольдбах, учитель малолетнего царя Петра I, написал письмо великому математику Леонарду Эйлеру (который был родом из Швейцарии, но почти всю жизнь проработал в Петербурге). Рассмотрев десятки четных чисел, Гольдбах заметил, что все они представимы в виде суммы двух простых чисел:
4 = 2 + 2,
6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5,
10 = 5 + 5,
50 = 19 + 31,
100 = 47 + 53,
21000 = 17 + 20983,
. . . . . .
Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Несмотря на многолетние усилия, Эйлеру, которого считали «живым воплощением анализа», так и не удалось решить проблему Гольдбаха. Ныне, в век компьютеров, гипотезу Гольдбаха подвергли проверке. Оказалось, что она верна для любого четного числа до 100 000 000, но доказать, что она верна для любого из бесконечно многих четных чисел, пока никому не удалось. Математики сумели доказать, что любое четное число представимо в виде суммы не более, чем 800 000 простых чисел[23], но этот результат весьма далек от доказательства первоначальной гипотезы Гольдбаха. Но даже столь слабые результаты позволили пролить свет на природу простых чисел, и в 1941 году российскому математику Ивану Матвеевичу Виноградову, которому удалось продвинуться на пути к доказательству гипотезы Гольдбаха, была присуждена Сталинская премия в размере 100 000 рублей.
Из всех проблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место Великой теоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров Кеплера. В 1609 году немецкий ученый Иоганн Кеплер доказал, что планеты движутся не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Это открытие совершило переворот в астрономии и позднее помогло Исааку Ньютону найти закон всемирного тяготения. Математическое наследие Кеплера не столь грандиозно по своим масштабам, как наследие Ньютона, но не менее глубоко. Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду.
Проблема родилась в 1611 году, когда Кеплер написал небольшое сочинение «О шестиугольных снежинках», предназначенное в дар его покровителю Иоганну Вакгеру фон Вакенфельсу. В этом сочинении Кеплер успешно объяснил, почему снежинки всегда имеют шестиугольную форму, высказав предположение, что рост каждой снежинки начинается с обладающего гексагональной симметрией зародыша, который, падая в атмосфере, увеличивается в размерах. Непрерывно изменяющиеся ветер, температура и влажность позволяют каждой снежинке сохранять индивидуальность, а малые размеры зародыша приводят к тому, что условия, от которых зависит его рост, остаются одинаковыми со всех шести сторон, тем самым способствуя сохранению симметрии. В этом, на первый взгляд легкомысленном, сочинении проявился присущий Кеплеру замечательный талант извлекать глубокие и далеко идущие результаты из простейших наблюдений. Впоследствии Кеплер стал одним из основоположников кристаллографии.
Интерес Кеплера к расположению и самоорганизации частиц вещества привел его к обсуждению другого вопроса — о плотнейшей упаковке частиц, при которой они занимают наименьший объем. Если предположить, что частицы имеют форму шаров, то ясно, что как бы они ни располагались в пространстве, между ними неизбежно останутся зазоры, и вопрос состоит в том, чтобы объем зазоров свести к минимуму. Кеплер рассмотрел несколько различных вариантов расположения шаров и для каждого варианта вычислил коэффициент заполнения пространства.
Один из первых вариантов расположения шаров, рассмотренных Кеплером, сейчас принято называть гранецентрированной кубической решеткой. Ее можно построить, выложив сначала нижний слой шаров так, чтобы каждый шар был окружен шестью другими шарами. Второй слой образуют шары, уложенные в «ямки» поверх первого слоя, как показано на рис. 24. По существу, второй слой повторяет первый, но только слегка смещен относительно первого, чтобы шары второго слоя расположились в ямках первого слоя. Именно так обычно укладывают апельсины торговцы фруктами. Коэффициент заполнения пространства такой укладки составляет 74 %. Это означает, что при укладке апельсинов в картонный ящик гранецентрированная стратегия позволяет заполнить 74 % объема ящика апельсинами.
Рис. 24. В гранецентрированной кубической упаковке шаров каждый слой состоит из сфер уложенных так, что каждая из них окружены шестью другими сферами. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что любой из его шаров располагается не на шаре из предыдущего слоя, а в ямке. Частной разновидностью гранецентрированной кубической упаковки служат пирамиды из апельсинов в витринах овощных магазинов
Гранецентрированную кубическую решетку можно сравнить с другими вариантами упаковки, например, с простой кубической решеткой. В этом случае каждый слой состоит из шаров, расположенных в виде квадратной решетки, а каждый следующий слой расположен в точности поверх предыдущего, как показано на рис. 25. Простая кубическая решетка имеет коэффициент заполнения пространства 53 %.
Рис. 25. В простой кубической упаковке каждый слой состоит из шаров расположенных в виде квадратной решетки. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что каждый его шар располагается строго над шаром предыдущего слоя
Еще один вариант расположения шаров — гексагональная решетка — аналогичен гранецентрированной кубической решетке, поскольку каждый слой состоит из шаров, окруженных шестью другими шарами, но следующий слой не сдвинут относительно предыдущего, а расположен прямо поверх него так, что каждый шар опирается на самую верхнюю точку шара, расположенного под ним, как показано на рис. 26. У гексагональной решетки коэффициент заполнения пространства составляет всего лишь 60 %.
Рис. 26. В упаковке с гексагональной решеткой каждый слой состоит из шаров расположенных так, что каждый из них окружен шестью другими шарами. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что каждый шар верхнего слоя располагается непосредственно над шаром предыдущего слоя
Кеплер исследовал множество различных конфигураций и пришел к заключению, что в сочинение «О шестиугольных снежинках» стоит включить только одну, а именно ту, которая в последствие получила название гранецентрированной кубической решетки, ибо у нее «упаковка оказывается плотнейшей из возможных». Утверждение Кеплера можно считать вполне разумным, так как коэффициент заполнения пространства для гранецентрированной кубической решетки наибольший из всех тех, которые были им обнаружены. Однако это не исключает возможность существования какого-то другого расположения шаров, с еще большим коэффициентом заполнения пространства, которое Кеплер попросту проглядел.
