Shorter(f, g, х)
Sort(v, х)
Shorten(f, x)
Здесь f и g полиномы, v — список полиномов и x — независимая переменная. Функции отличаются характером сортировки.
Функция Shorter определяет полином f как более короткий, чем g, по следующим признакам: меньшая длина, меньшее имя независимой переменной х, не дробный и меньшая степень других переменных. Функция Sort сортирует лист полиномов х по признакам, определяемым Shorter. Функция Shorten использует преобразования Мёбиуса. Многочисленные детали ее применения можно найти в справке по данной функции. Примеры применения функций сортировки:
> Shorten(х^2+х+1,х);
x² + 3
> Shorten(3*х^3+18*х+14,х);
x³ - 6
> Shorten(х^4+32);
х4 + 2
> Shorter(х^3,х+5,х);
false
> Sort([х^3,х^2,х+1,х+5]);
Error, (in sort_poly) sort_poly uses a 2nd argument, x, which is missing
> Sort([х^3,х^2,x+1,x+5],x);
[1 + x, x + 5, x², x³]
5.5.4. Функции преобразования полиномов в PDE и обратно
Функция PolynomialToPDE(polys, vars, depvars) преобразует полиномы polys по независимым переменным vars в дифференциальные уравнения с частными производными (PDE). Другая функция PDEToPolynomial(pdes, vars, depvars) осуществляет обратное преобразование. Следующие примеры иллюстрируют применение этих функций:
> S:= PolynomialToPDE([(х^2 - 2*х + 1)*u + x^3*v], [х], [u,v]);
> PDEToPolynomial(S, [х], [u,v]);
[(x² - 2x + 1)u + x³v]
5.6. Введение в интерполяцию и аппроксимацию
5.6.1. Основные понятия
Если некоторая зависимость y(х) представлена рядом табличных отсчетов yi(хi), то интерполяцией принято называть вычисление значений y(х) при заданном х, расположенном в интервале между отсчетами. За пределами общего интервала определения функции [a, b], то есть при x<a и x>b вычисление y(x) называют экстраполяцией (или, иногда, предсказанием значений функции). В данном случае речь идет об одномерной интерполяции, но возможны двумерная интерполяция функций двух переменных z(х, у) и даже многомерная интерполяция для функций многих переменных.
Интерполяция и экстраполяция часто выполняются по некоторой скрытой, но подразумеваемой, зависимости. Например, если узловые точки функции соединить отрезками прямых, то будем иметь многоинтервальную линейную интерполяцию данных. Если использовать отрезки параболы, то интерполяция будет параболической. Особое значение имеет многоинтервальная сплайн-интерполяция, области применения которой уже сейчас весьма обширны и непрерывно расширяются. Интерполяция рядом Фурье (набором синусоидальных функций) также достаточно хорошо известна, она эффективна при интерполяции периодических функций.
Аппроксимацией в системах компьютерной математики обычно называют получение приближенных значений какого-либо выражения. Однако под аппроксимацией функциональных зависимостей подразумевается получение некоторой конкретной функции, вычисленные значения которой с некоторой точностью аналогичны аппроксимируемой зависимости. Обычно предпочитают найти одну зависимость, приближающую заданный ряд узловых точек. Часто для этого используют степенные многочлены — полиномы.
Здесь мы будем рассматривать такие виды аппроксимации, которые дают точные значения функции y(x) в узловых точках в пределах погрешности вычислений по умолчанию. Если аппроксимирующая зависимость выбирается из условия наименьшей среднеквадратической погрешности в узловых точках (метод наименьших квадратов), то мы имеем регрессию или приближение функций по методу наименьших квадратов.
5.6.2. Полиномиальная аппроксимация и интерполяция аналитических зависимостей
Рассмотрим основы полиномиальной аппроксимации (приближения) функциональных зависимостей. Пусть приближаемая функция φ(х) должна совпадать с исходной функцией f(х) в (n+1)-точке, то есть должно выполняться равенство: φ(хi)=f(хi)=fi, i = 0, …, n. В качестве приближающей функции примем алгебраический полином:
(5.1)
Выбор конкретного значения n во многом определяется свойствами приближающей функции, требуемой точностью, а также выбором узлов интерполяции. В случае аналитической функциональной зависимости выбор степени полинома может быть любым и чаще всего определяется компромиссом между сложностью полинома, скоростью его вычисления и погрешностью. В качестве критерия согласия принимается условия совпадения функций f и q в узловых точках:
f(хi) = Рn(хi), (i=0, 1, …
n). (5.2)
Полином Рn(х) удовлетворяющий данному условию будет интерполяционным полиномом.
Для задачи интерполирования в интервале [a, b] выбираются значения аргументов а≤х0<x1<…<хn≤b, которые соответствуют значениям fi=f(хi) (i=0, 1, ..., n) функции f. Для этой функции будет существовать и притом единственный полином степени не выше n, который принимает в узлах х, заданные значения fi. Для нахождения этого полинома решается система алгебраических уравнений
а0хtn +a1 хtn-1 + ... +аn = fi, (i=0, 1, ..., n).
Подставив полученные значения a_k в равенство (5.1) можно получить обобщенную форму представления интерполяционного полинома
(5.3)
Получив интерполяционный полином (5.3), необходимо выяснить, насколько близко он приближается к исходной функции в других точках отрезка [a, b]. Обычно для этого строится график f(x) и Рn(х) и график их разности, т. е. абсолютной погрешности. Последняя определяется выражением:
(5.4)
Вопреки существующему мнению о быстрой потери точности полиномиальной аппроксимации при n>(5–7) погрешность ее быстро уменьшается при увеличении n. Но это только при условии, что все вычисления выполняются точно! При выборе метода приближения необходимо обеспечить по возможности более высокую точность приближения и одновременно простоту построения φ(х) по имеющейся информации о приближаемой функции f(х).
5.6.3. Интерполяционный метод Лагранжа.
При решении практических задач часто используют специальные виды интерполяционных полиномов, которые упрощают некоторые вычислительные процедуры. Данный метод предполагает введение вспомогательного полинома li(х) степени n. Полином li(х) в точке х, должен быть равен 1, а в остальных точках отрезка интерполяции должен обращаться в нуль.
Удовлетворяющий этому полином может быть представлен в виде:
(5.5)
Это выражение известно как интерполяционный полином Лагранжа. Важным достоинством ее является то, что число арифметических операций, необходимых для построения полинома Лагранжа, пропорционально n² и является наименьшим для всех форм записи. Данная форма интерполяционного полинома применима как для равноотстоящих, так и для неравноотстоящих узлов. Достоинством является и то, что интерполяционный полином Лагранжа удобен, когда значения функций меняется, а узлы интерполяции неизменны, что имеет место во многих экспериментальных исследованиях. Рекомендуется использовать запись интерполяционного полинома в форме Лагранжа при теоретических исследованиях при изучении вопроса сходимости Ln(f, х) к f при n→∞.
К недостаткам этой формы записи можно отнести то, что с изменением числа узлов необходимо все вычисления проводить заново. Выражение (5.4) можно записать в более компактной форме:
(5.5)
Теоретически максимальную точность обеспечивает полином высокой степени. Однако на практике часто используется полином невысокой степени (линейная и квадратичная интерполяция) с увеличением степени интерполяционного полинома возрастают колебательные свойства полинома. Аппроксимация с помощью интерполяционного полинома Лагранжа является достаточно эффективной, когда интерполируются гладкие функции и число n является малым. В частности в математическом обеспечении компьютерных средств имеется стандартные подпрограммы аппроксимации, в которых реализована формула Лагранжа.
5.6.4. Интерполяционный метод Ньютона
На практике для повышения точности интерполяционного полинома незначительно увеличивают количество узлов интерполяции. В этом случае использование метода Лагранжа неудобно, так как добавление дополнительных узлов приводит необходимости пересчета всего интерполяционного полинома в целом. Эти недостатки устраняются, если записать полином Лагранжа, используя интерполяционный метод Ньютона.
