Кажется, что проблема распределения ключей может быть решена, поскольку в схеме с двойным зашифровыванием не требуется обмена ключами. Существует, однако, фундаментальное препятствие реализации системы, при которой Алиса зашифровывает, Боб зашифровывает, Алиса расшифровывает и Боб расшифровывает. Проблема состоит в том, в каком порядке выполняются зашифровывания и расшифровывания. Вообще говоря, порядок зашифровывания и расшифровывания является принципиальным и должен подчиняться принципу «последним пришел, первым ушел». Другими словами, последний этап при зашифровывании должен быть первым этапом при расшифровывании. В вышеприведенной же последовательности действий последним выполнял зашифровывание Боб, и поэтому при расшифровывании этот этап должен выполняться первым, но первой убирала свое шифрование Алиса — до того, как это сделал Боб. Важность порядка выполнения действий проще всего понять путем проверки чего-то такого, что мы выполняем каждый день. Утром мы надеваем носки, а затем ботинки, а вечером сначала снимаем ботинки, и только потом носки — не удастся снять носки раньше ботинок. Мы обязаны подчиняться принципу «последним пришел, первым ушел».
Некоторые самые элементарные шифры, такие как шифр Цезаря, являются настолько простыми, что порядок неважен. Однако в 70-х годах казалось, что любая форма стойкого шифрования должна подчиняться правилу «последним пришел, первым ушел». Если сообщение зашифровано ключом Алисы, а затем ключом Боба, то его необходимо вначале расшифровывать ключом Боба, а только потом — ключом Алисы. Порядок является критичным даже с одноалфавитным шифром замены. Представьте, что у Алисы и Боба имеются свои собственные ключи, как показано на следующей странице, и давайте взглянем, что случится, если порядок неправильный. Алиса использует свой ключ, чтобы зашифровать сообщение Бобу, затем Боб повторно зашифровывает то, что получилось, используя свой ключ; Алиса пользуется своим ключом, чтобы провести частичную расшифровку, и наконец, Боб своим ключом старается полностью расшифровать сообщение.
В результате получается бессмыслица. Вы можете, однако, сами проверить, что если расшифровывание будет производиться в обратном порядке — вначале Бобом, а затем Алисой, — то есть соблюдаться правило «последним пришел, первым ушел», то в результате будет получено исходное сообщение. Но если порядок настолько важен, то почему же, казалось бы, работала система с замками в шуточной истории о запертых коробках? Ответ заключается в том, что при использовании замков порядок неважен. Я могу навесить на коробку двадцать замков и отпирать их в любом порядке — в конце коробка будет открыта. К сожалению, системы шифрования в том, что касается порядка, оказываются гораздо более чувствительными, чем замки.
Несмотря на то что на практике принцип запертой на два замка коробки работать не будет, он вдохновил Диффи и Хеллмана на поиск способа, позволяющего избежать проблемы распределения ключей. Месяц за месяцем они старались найти решение. Хотя все предположения оканчивались ничем, они вели себя словно форменные дураки и настойчиво продолжали поиски. В своих исследованиях они занялись проверкой различных математических функций. Функция — это любая математическая операция, которая преобразует одно число в другое число. Например, «удвоение» представляет собой один из видов функции, поскольку с ее помощью число 3 превращается в число 6, а число 9 — в 18. Более того, мы можем рассматривать все виды компьютерного шифрования как функции, так как с их помощью одно число (открытый текст) преобразуется в другое число (шифртекст).
Большинство математических функций относится к двусторонним функциям, поскольку их легко применять при вычислениях в прямом и обратном направлении. К примеру, «удваивание» является двусторонней функцией, поскольку с ее помощью можно без труда образовать новое число, вдвое увеличив исходное число, и так же просто применить функцию в обратном направлении и вернуться от удвоенного к исходному числу. Так, если мы знаем, что результатом удваивания является число 26, то совершенно очевидно, что, чтобы найти исходное число — 13, следует применить данную функцию в обратном направлении. Самый простой способ понять, что такое двусторонняя функция, — это рассмотреть ее на примере повседневной деятельности. Включение освещения является функцией, так как при этом загорается лампочка. Эта функция — двусторонняя, поскольку если выключатель включен, то его легко и выключить, погасив тем самым горящую лампочку.
Но Диффи и Хеллман не интересовались двусторонними функциями. Они обратили свое внимание на односторонние функции. Как следует из названия, одностороннюю функцию легко вычислить в прямом направлении, но очень сложно в обратном. Другими словами, двусторонние функции обратимы, а односторонние функции необратимы. И опять-таки самый простой способ показать, что такое односторонняя функция, — это рассмотреть ее на примере повседневной деятельности. Смешивание желтой и синей красок для получения зеленой краски является односторонней функцией, поскольку краски смешать несложно, но вот разделить их после этого снова на исходные невозможно. Односторонней функцией также будет разбивание яйца: разбить яйцо легко, но вернуть его в исходное состояние уже невозможно. Из-за этого односторонние функции иногда называются функциями Шалтай-Болтая.
Модулярная арифметика, иногда в школе называемая арифметикой, оперирующей с абсолютными значениями чисел, является разделом математики, который богат односторонними функциями. В модулярной арифметике математики имею дело с циклически замкнутыми конечными группами чисел, подобно числам на циферблате часов. Например, на рис. 64 показан циферблат часов с модулем 7, на котором имеется только 7 цифр от 0 до 6. Чтобы вычислить 2 + 3 по модулю 7 (или mod 7), мы возьмем в качестве отправной точки 2 и передвинемся на 3 позиции, получив в результате 5, то есть получим тот же самый ответ, что и в обычной арифметике. Чтобы вычислить 2 + 6 по модулю 7, мы возьмем в качестве начальной точки 2 и передвинемся на 6 позиций, но на сей раз мы обойдем весь циферблат и окажемся на 1, а это уже не тот результат, который мы получили бы в обычной арифметике. Эти результаты могут быть выражены в следующем виде:
2 + 3 = 5 (mod 7) и 2 + 6 = 1 (mod 7)
Модулярная арифметика сравнительно проста, и на самом деле мы пользуемся ею ежедневно, когда говорим о времени. Если сейчас 9 часов, а у нас назначена встреча, которая состоится через 8 часов, мы скажем, что встреча произойдет в 5, а не в 17 часов.
Мы в уме сосчитали 9 + 8 по (mod 12). Представьте себе, циферблат часов, посмотрите на 9, а затем отсчитайте 8 делений, и вы остановитесь на 5:
9 + 8 = 5 (mod 12)
Математики, вместо того чтобы представлять себе циферблаты на часах, часто выбирают кратчайший путь, выполняя модулярные вычисления следующим образом. Вначале вычисление проводится по правилам обычной арифметики. Затем, если мы хотим узнать ответ по (mod х), мы делим результат, полученный на предыдущем этапе, на х и записываем остаток. Этот остаток и является ответом по (mod x). Чтобы найти ответ в примере 11 x 9 (mod 13), мы поступим следующим образом:
11 х 9 = 99
99 + 13 = 7, остаток 8
11 x 9 = 8 (mod 13)
Функции, с которыми работают в модулярной арифметике, ведут себя хаотичным образом, что, в свою очередь, иногда делает их односторонними функциями. Это становится очевидным, если сравнить простую функцию в обычной арифметике с этой же простой функцией, но в модулярной арифметике. В первой арифметике данная функция будет двусторонней и легко вычисляемой в обратном направлении; во второй арифметике она станет односторонней, и обратные вычисления провести будет сложно. В качестве примера возьмем функцию 3х. Это означает следующее: взять число х, а затем умножить 3 само на себя х раз, в результате получится новое число. Например, если х = 2, и мы выполняем функцию, тогда:
3x = З2 = 3 х 3 = 9.
Другими словами, функция преобразует 2 в 9. В обычной арифметике по мере увеличения х возрастает также и значение функции. Поэтому если нам дано значение функции, то сравнительно несложно выполнить обратное преобразование и найти исходное значение.
Например, если результат равен 81, мы можем установить, что х равно 4, потому что 34 =_81. Если мы ошибемся и предположим, что х равно 5, путем вычисления мы можем определить, что 35 = 243, а это подскажет нам, что мы выбрали слишком большое значение х. После этого мы уменьшим х до 4 и получим правильный ответ. Короче говоря, даже когда наше предположение неверно, мы можем исправить свою ошибку и получить точное значение х, выполнив тем самым обратное преобразование функции.
