Второй класс Черна можно на пальцах определить аналогичным образом, за исключением того, что нам необходимо рассмотреть на некотором многообразии два векторных поля, а не одно. Векторные поля, о которых мы здесь говорим, являются комплексными, то есть координаты отдельного вектора описываются комплексными числами. Если принять, что эти два векторных поля являются независимыми, то в большинстве точек на многообразии векторы, вероятно, будут иметь различные направления. Но в определенных точках векторы из каждого поля могут иметь одно и то же комплексное направление или оба стремиться к нулю. На самом деле, может существовать целый набор точек, где это условие будет выполняться. Такой набор точек образует замкнутую двухмерную поверхность в пределах нашего шестимерного многообразия, а вместе эти точки представляют второй класс Черна.
Каким образом это связано с устранением аномалий? Грин и Шварц показал, что независимо от того, насколько плохими могут оказаться аномалии, если удастся заставить их компенсировать друг друга и тем самым устранить, то, возможно, в конце концов, получится жизнеспособная теория. Один из способов избавления от таких надоедливых аномалий заключается в том, чтобы убедиться, что выбранное вами расслоение имеет тот же второй класс Черна, что и касательное расслоение.
Что касается вопроса, почему это должно работать, мы должны помнить, что расслоения, о которых идет речь, являются, в некотором смысле, эрзацами фоновых полей — гравитационных и калибровочных, из которых можно вывести реальные силы, существующие в природе. Например, касательное расслоение Калаби-Яу является хорошим слепком гравитационного поля, так как Калаби-Яу, характеризуемое специальной метрикой, позволяет решить уравнения гравитационного поля Эйнштейна. Другими словами, гравитация в некотором роде зашифрована в его метрике. Но метрика также связана с касательным расслоением, потому что метрика, как говорилось ранее, предоставляет нам функцию для вычисления расстояния между любыми двумя точками А и В на многообразии. Мы берем все возможные пути между А и В и разбиваем каждый путь на много крошечных касательных векторов; объединенные вместе касательные векторы образуют касательное расслоение. Вот почему в случае попытки удаления аномалий можно использовать касательное расслоение Калаби-Яу, чтобы построить гравитационную часть теории.
Затем мы выбираем дополнительное векторное расслоение с целью воспроизведения калибровочных полей Стандартной модели. Теперь у нас есть два расслоения, одно дает нам гравитационное поле, второе — калибровочные поля. К сожалению, каждое поле неизбежно будет иметь аномалии, которых невозможно избежать, но Грин и Шварц показали, что нет причины для отчаяния. По мнению Донаги, они продемонстрировали, «что аномалия, являющаяся результатом гравитационного взаимодействия, обладает противоположным знаком по отношению к аномалии калибровочного поля. Поэтому если удастся сделать так, чтобы они имели одинаковые абсолютные значения, то они уничтожат друг друга».[164]
Чтобы выяснить, работает ли наша теория, мы возьмем второй класс Черна как касательного расслоения Калаби-Яу, так и расслоения калибровочного поля. Ответ, который мы получаем для каждого расслоения, зависит от тех особых точек, где векторные поля совпадают или исчезают. Однако невозможно просто вычислить количество таких точек, поскольку на самом деле их количество бесконечно. Вместо этого можно сравнить кривые (единичной комплексной размерности), которые вычерчивают эти точки. Кривые, которые относятся к каждому из этих расслоений, не должны быть одинаковыми, чтобы не соответствовать второму классу Черна, но они должны быть гомологичными.
Гомология является тонким понятием, которое лучше всего объяснить на примере, я постараюсь подобрать наиболее простой пример — крендель. Каждая дырка вырезается по кругу, одномерному объекту, но каждый круг ограничивает дырку, которая является двухмерным объектом. В данном случае примером гомологии будут два круга нашего кренделя. Таким образом, мы называем две кривые, или два круга, гомологичными, если они имеют одну и ту же размерность и ограничивают поверхность или многообразие, имеющее на одно измерение больше. Мы используем термин класс Черна, чтобы указать на наличие целого класса кривых, которые связаны через гомологию. Мы ставим эту концепцию на первое место, потому что если кривые для наших двух расслоений являются гомологичными (касательное расслоение, представляющее гравитацию, и второе расслоение — калибровочные поля), то этим расслоениям будет соответствовать второй класс Черна. В результате, как ни странно, аномалии теории струн исчезнут, чего мы и добивались.
Когда ученые впервые начали проверку этих идей, как это сделали в своем труде Канделас, Горовиц, Строминджер и Виттен в 1985 году, они использовали касательное расслоение как единственное, известное на тот момент. Если использовать касательное расслоение, то второй класс Черна вашего расслоения не может не соответствовать второму класса Черна касательного расслоения. Таким образом, ваш выбор будет правильным, но касательное расслоение также будет удовлетворять условию стабильности, что, как уже указывалось ранее, является прямым следствием доказательства гипотезы Калаби. Тем не менее исследователи считали, что если другие расслоения соответствуют вышеуказанным требованиям, включая стабильность, то можно найти и более гибкие с точки зрения физики варианты. Канделас говорит, что даже в далеком 1985 году «мы уже поняли, что должны существовать более общие способы решения задач, а именно что существуют иные расслоения, кроме касательного, которое мы используем. Хотя мы знали, что это возможно, но еще не знали, как это сделать практически».[165]
Тем временем с наступлением второй струнной революции в середине 1990-х годов исследователи поняли, что существует возможность смягчить ограничения по расслоениям, в связи с чем открывалось много новых возможностей. В М-теории существовала дополнительная размерность, что давало исследователю свободу и простор для размещения дополнительных полей, которые соответствовали бранам — важным новым компонентам, введенным М-теорией. После введения браны в общую картину второй класс Черна калибровочного поля уже больше не должен быть равным второму классу Черна касательного расслоения: он мог быть меньше или равен.
Все это стало возможным потому, что сама брана или кривая, вокруг которой она обернута, имеет свой собственный второй класс Черна, который можно сложить со вторым классом Черна калибровочного расслоения, чтобы соответствовать касательному расслоению и таким образом обеспечить устранение аномалии. В результате сегодня физики могут работать с более широким разнообразием калибровочных расслоений.
«Каждый раз, когда вы ослабляете условия (в данном случае меняя равенство на неравенство), у вас появляется больше примеров», — объясняет Донаги.[166] Обратившись снова к нашему примеру со сферой или к большому надувному мячу для игры на пляже, заметим, что вместо присоединения касательной плоскости или ее части к каждой точке на поверхности мяча можно присоединить обычное расслоение с векторами, направленными от поверхности. Существует много других расслоений, которые можно создать, присоединив определенное векторное пространство к различным точкам на многообразии и затем объединив все эти векторные пространства для получения расслоения.
Хотя новая степень свободы «от М-теории» позволила ученым исследовать широкий спектр расслоений, они до сих пор не придумали примеры, которые бы действительно работали. Первый шаг снова заключается в выборе расслоения, которое является устойчивым и избавленным от аномалий. Из теоремы DUY мы знаем, что такое расслоение может дать вам калибровочные поля или взаимодействия Стандартной модели.
Конечно, Стандартная модель посвящена не только взаимодействиям. Это теория физики элементарных частиц, поэтому ей есть что сказать и об элементарных частицах. Тогда поставим вопрос следующим образом: как элементарные частицы связаны с многообразиями Калаби-Яу? Существуют два вида элементарных частиц, о которых будет идти речь: частицы, которые мы можем потрогать (материальные частицы), и частицы-переносчики взаимодействий (полевые частицы), в число которых входят фотоны, переносящие свет, а также другие, невидимые для нас частицы — слабые бозоны и глюоны.
Частицы силовых полей в некотором смысле легче извлечь, поскольку если вы правильно получили все калибровочные поля на предыдущем этапе со всеми группами правильной симметрии, то вы уже имеете все эти частицы. Они являются в буквальном смысле частью силовых полей, а количество симметричных размерностей в каждом калибровочном поле соответствует количеству частиц, передающих взаимодействие. Например, сильное взаимодействие, связанное с восьмимерной симметрией SU(3), обеспечивается восемью глюонами; слабое взаимодействие, связанное с трехмерной симметрией SU(2), передается тремя бозонами: W+, W- и Z; а электромагнитное взаимодействие с одномерной симметрией U(1) передается одной частицей — фотоном.
