равна внутренней стоимости, умноженной на вероятность каждого уровня, как показано в табл. 19.6.
Стоимость ванильного опциона может быть интуитивно рассчитана как сумма ожидаемых стоимостей в каждом узле. Чем больше число шагов, тем выше точность расчета.
На рис. 19.25 в столбце «Путь 2» показано количество путей, не пересекающих барьер, полученное с помощью принципа отражения. Таким образом, стоимость барьерного опциона равна выплате (столбец «Внутренняя стоимость»), умноженной на значения в столбце «Разница» и деленной на общее количество путей.
Повторяя упражнение, показанное в табл. 19.6, трейдер получит цену того же опциона, но с нокаут-барьером 98 (см. табл. 19.7).
Это приводит к следующему равенству: при отсутствии перекоса волатильности и дрейфа обычный нокаут-опцион (который выключается вне денег), когда актив торгуется по цене S, с ценой страйк K и барьером H, равен ванильному опциону с такой же ценой страйк и таким же сроком истечения минус тот же ванильный опцион с ценой спот S′, которая является симметричным отражением S, центрированным вокруг H (S S′ = H2). Значения должны соответствовать надлежащему отношению
Пример. Цена 3-месячного нокаут-колла с ценой страйк 100, ценой спот 100 и барьером на уровне 98 равна цене ванильного опциона минус 100/98 умножить на такой же ванильный опцион стоимостью 96,04.
Отсюда мы можем перейти к понятию реверсии риска. При использовании принципа паритета пут-колл, а также изменении метода расчета цена 100 колла, рассчитанная на уровне спот 96,04, будет равна цене 96,04 пута, рассчитанной на уровне спот 100. Это подтверждает справедливость правил перекоса волатильности, представленных выше.
Следствием этого принципа является то, что в отношении обратного нокаут-опциона или обычного нокаут-опциона, торгуемого с рибейтом, действуют более сложные правила, поскольку приходится учитывать выплату соответствующего американского бинарного опциона.
Теорема Гирсанова
В представленную выше схему нетрудно ввести дрейф и учитывать его при использовании принципа отражения. Это можно сделать, предположив, что для компенсации дрейфа структуры с одинаковыми путями имеют разные вероятности. Путь остается прежним, а вероятности меняются, чтобы изменилась выплата без изменения путей.
Допустим, в тот же период цена спот растет на 0,99 % в месяц. Соответственно, мы ожидаем, что через месяц цена составит 100,99.
Теорема Гирсанова позволяет трейдерам менять вероятность каждого результата в сторону повышения или понижения, чтобы получить ожидаемую выплату 100,99. В нашем примере трейдер должен изменить конечные вероятности. В модуле G «Ценообразование опционов» приводится более строгое изложение метода. На рис. 19.26 показаны выплаты.
Переоценка опциона показывает, что стоимость пакета изменилась (табл. 19.8).
Влияние времени на нокаут-опционы
Для обычных нокаут-опционов эффект времени не является по-настоящему разрушительным, в отличие от обратных нокаут-опционов, на которые он может воздействовать сильнее. Время заставляет базовый опцион быстрее терять стоимость, но при этом увеличивает разрыв на барьере, что смягчает эффект: стоимость выключения будет снижаться. Этот эффект показан на рис. 19.27.
Однако у нокин-опционов барьер не так сильно доминирует в структуре, поскольку в последней нет конфликтующих опционов. Этот эффект показан на рис. 19.28.
Время первого выхода и его риск-нейтральное ожидание
■ Ожидаемое время первого выхода (или момент остановки) – это момент, в который цена актива, как ожидается, достигнет конкретной отметки на рынке, в зависимости от даты экспирации. В модуле G («Ценообразование опционов») представлена методика расчета распределения как времени первого выхода, так и его ожидания.
В отличие от европейского бинарного опциона барьерный опцион следует хеджировать с помощью инструментов, имеющих аналогичную длительность. Для этого необходимо всегда знать ожидаемое время первого выхода, т. е. в данном случае – момента достижения барьера. Разница между номинальным окончанием срока действия опциона и ожидаемым моментом остановки соответствует уровню доминирования барьера в структуре. При слабом барьере (оказывающем незначительное влияние на риски структуры) ожидаемое время выхода будет совпадать с номинальной длительностью опциона. При сильном барьере оно будет значительно короче.
Таким образом, ожидаемое время первого выхода можно представить, как показано на рис. 19.29.
По мере увеличения волатильности опцион укорачивается, и барьер начинает доминировать. При низкой волатильности доминирует базовый опцион, а ожидаемое время первого выхода совпадает со сроком исполнения ванильного опциона.
Правило трейдинга: уверенность в том, что время первого выхода меньше или равно номинальному сроку исполнения, делает любую неарбитражную статическую репликацию барьерного опциона с помощью комбинации ванильных опционов неполной.
Существует множество упрощенных методов хеджирования опционов, включая репликацию с помощью реверсии риска, о которой шла речь выше. Поскольку эти методы не учитывают неопределенность длительности, их применение может быть чрезвычайно опасным.
Многие поставщики программного обеспечения взяли на вооружение упрощенные гомоскедастические (имеющие постоянную волатильность) инструменты ценообразования, которые можно найти в первых научных публикациях на эту тему, и буквально завалили ими трейдеров. Если существует вероятность того, что барьерный опцион истечет раньше, использование в расчетах только одной волатильности приводит к завышению цены, когда временна́я структура волатильности представляет собой восходящую функцию, и занижению цены, когда эта структура имеет противоположный характер (представляет собой нисходящую функцию).
Из вышеуказанного правила управления рисками вытекает следующее.
● Чтобы любое вега-хеджирование против барьера соответствовало выплате барьерного опциона, оно должно учитывать время первого выхода.
● Хеджирование форвардной экспозиции, вытекающей из барьерного опциона, следует осуществлять очень осторожно. Время первого выхода может меняться, а момент остановки наступать раньше или позже. Если ожидаемое время первого выхода увеличивается, требуется увеличение срока хеджа. Такое изменение баланса может привести к колоссальным транзакционным издержкам. Поэтому рекомендуется хеджировать при сроке меньше номинального.
● Время первого выхода зависит от волатильности. При наличии на рынке кривой волатильности (положительной или отрицательной) время первого выхода увеличивается или сокращается.
Проблемы ценообразования барьерных опционов
Поскольку время первого выхода неопределенно, для целей ценообразования необходимо знать его локализацию во временно́й структуре. В настоящее время большинство систем, предлагаемых трейдерам, основываются на ошибочной системе ценообразования. Существует два способа «перехитрить» эти методы.
1. Уловка единичной волатильности. Этот метод требует меньших затрат машинного времени, но он недостаточно точный. Автор этой книги рекомендует использовать его только для устранения недостатков в формулах ценообразования. Метод дает лишь частичный ответ.
2. Ценообразование по форвард-форвардной кривой (метод Дюпира). Этот метод требует более объемных вычислений, но, как правило, позволяет точнее определять реальную стоимость опциона и соответствующих хеджей. Некоторые жалуются на сложности, связанные с применением метода и конвергенцией.
Уловка единичной волатильности
● Шаг 1. Определяем кривую подразумеваемой волатильности предполагаемых цен спот на рынке.
● Шаг 2. Находим ожидаемый момент остановки. Обратите внимание, что мы имеем дело с распределением, а не фиксированной временно́й точкой. Предположим, что полученный ожидаемый момент остановки будет составлять около 6 месяцев. С помощью интерполяции, показанной на рис. 19.30, определяем, что волатильность, которую мы будем использовать, составляет 10,95. Это волатильность нокаут-опциона.
● Шаг 3. Определяем цену нокаут-опциона, используя синтетическую реверсию риска. Основной опцион (105 колл в предыдущем примере) должен оцениваться как истекающий при номинальной стоимости. Второй опцион должен оцениваться с использованием параметров времени первого выхода. Таким образом, реверсия риска получает новое измерение – перекос волатильности.
● Шаг 4. Находим форвард-форвард между моментом остановки и конечной датой. Используя формулу, приведенную в главе 9, получим FFwd (6,9) = 12 %. Этот показатель поможет определить стоимость нокин-опциона такой же номинальной длительности.
Наконец, тот факт,
