Шульба-Сутры — единственный индийский математический текст ведического периода, то есть VIII–II веков до н. э. В нем приведены четкие методы построения алтарей квадратной или круглой формы для дома. Алтари, находившиеся в общественных местах, должны были иметь более сложную форму и содержать треугольники, ромбоиды и трапецоиды. В одном из таких алтарей элементарные многоугольники образовывали фигуру в форме птицы — возможно, это означало, что после жертвоприношения птица поднимет в небеса просьбу просившего.
Одна из задач заключалась в построении алтаря площадью в два раза больше данного. Эту простую геометрическую задачу можно решить на глаз и в численном виде. Второй способ предпочтительнее, если мы хотим заранее определить, сколько материала потребуется на изготовление алтаря. Первым способом решение находится мгновенно: достаточно построить квадрат на диагонали исходного. Полученный квадрат будет содержать ровно четыре половины исходного квадрата.
Численное решение основано на применении теоремы Пифагора или определении числа, которое при возведении в квадрат дает 2. В самом деле, какова длина стороны квадрата х, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной с? Посмотрим:
Шульба-Сутры также содержат описание алгоритмического метода вычисления квадратного корня из 2 путем последовательных приближений. Согласно этому методу, нужно добавить к длине стороны ее треть, затем — четвертую часть трети и, наконец, вычесть 30-ю часть четвертой части трети стороны. Иными словами, обозначив через с длину стороны квадрата, который нужно удвоить, имеем:
Выполнив указанные операции, вы увидите, что полученный результат — прекрасное приближение квадратного корня из 2 с точностью до пяти знаков после запятой:
Позднее, в XV веке, к этому числу были добавлены еще два члена, и в результате оно стало равняться корню из 2 с точностью до семи знаков:
Откуда взялись эти цифры и число 34, в Шульба-Сутрах ничего не сказано. В них, как и во многих других математических текстах, зафиксированы лишь ответы, а не пути к решениям. Существует гипотеза, согласно которой индийский алгоритм вычисления корня из 2 основан на методе, известном еще вавилонянам. Мы уже показали, что им удалось с удивительной точностью вычислить длину диагонали квадрата, но нам ничего не известно о том, какой метод они при этом использовали и был он алгебраическим или геометрическим.
Как математики воссоздают творческий процесс решения задачи? Нужно провести некий воображаемый путь, выбрав в качестве начала точку, к которой пришел тот, кто решил задачу. Если мы узнаем, о чем думал автор решения, зафиксированного в Шульба-Сутрах, указанные дроби и числа обретут смысл.
Среди наиболее вероятных объяснений — теория индийского математика Датты, жившего в первой трети XX века. Начнем с того, что приближенное значение корня из 2 получается при помощи числовой последовательности, которая начинается с единицы (такова длина стороны квадрата):
{1, 1,33333, 1,41467, 1,4142157, 1,4142135 } — > √2.
Длина стороны квадрата и его площадь равны единице. Так как на первом шаге мы прибавляем к единице одну треть, разделим квадрат на три равные части. Получим три прямоугольника. Обозначим два первых прямоугольника через А и В и разделим третий прямоугольник на три равные части. Каждая из этих частей будет представлять собой квадрат. Обозначим верхний квадрат через С и разделим два нижних на четыре части каждый. Получим рисунок.
Имеем одиннадцать фигур (А, В, С и восемь маленьких прямоугольников). Расположим их вокруг исходного квадрата следующим образом.
Заполнив пустой угол, получим новый квадрат. Его площадь будет больше площади искомого удвоенного квадрата на величину площади этого пустого угла, так как площадь добавленных фигур равна исходному квадрату. Заметим, что если мы добавим к этой фигуре небольшой квадрат в углу, то площадь полученного квадрата будет в точности совпадать с той, что указана в Шульба-Сутрах:
Датта объясняет использование дроби 1/(3·4·34) с алгебраической точки зрения, свойственной скорее западной математике. По его мнению, пустой угол фигуры — это излишек, который распределяется между двумя ограничивающими его сторонами. Иными словами, этот пустой угол (его площадь равна 1/122) делится на два прямоугольника и новый пустой угол со стороной х, которые мы «отрежем» от верхней и правой боковой стороны фигуры:
Далее Датта заключает, что площадь нового пустого угла, квадратика со стороной х, пренебрежимо мала, и выполняется соотношение:
Возможно, именно так рассуждал индийский автор Шульба-Сутр, однако приведенные алгебраические методы и пренебрежение малыми величинами кажутся не слишком уместными при поиске все более точных значений. Чтобы поставить себя на место индийского автора и понять ход его рассуждений, нужно найти геометрическое обоснование этого необычного знаменателя, то есть числа 34. Разделим квадратный пустой угол со стороной 1/12 на столько частей, сколько раз этот квадрат укладывается на верхней и правой сторонах фигуры, то есть на 16 + 16 = 32 части. Отсечем от каждого из 16 квадратиков, расположенных вдоль стороны фигуры, полосу шириной 1/(12·32) и получим новый многоугольник, вписанный в квадрат. Длина стороны этого многоугольника будет равна:
Площадь этого квадрата намного ближе к искомому значению:
Число 34 по-прежнему не появляется. Поступим иначе: вместо того чтобы уменьшить стороны изображенного выше неправильного многоугольника, рассечем квадрат со стороной 1 + 1/3 + 1/12 вдоль верхней и правой стороны. На каждой из них маленький квадратик в углу укладывается ровно 17 раз.
Разрежем этот маленький квадратик на 34 полосы, а затем отсечем 17 полос из верхней и столько же — из правой стороны большого квадрата. Мы исключили излишек в форме маленького квадрата, длина стороны которого равна: 1/(12·34)
Полученная фигура вновь будет неправильным многоугольником, вписанным в квадрат. Длина стороны этой фигуры в точности равна приближенному значению, приведенному в Шульба-Сутрах.
По всей видимости, если мы отбросим 34 квадратика, это будет слишком много, если отбросим 33 — слишком мало, чем и объясняется чередование чисел 33 и 34 в последующих приближенных значениях, полученных по индийскому методу:
В продолжение рассуждений, параллельных индийскому методу, заметим: если разделить исходный квадрат не на три, а на пять частей, то первое приближение будет более точным.
Подобная схема рассуждений не вписывается в евклидову геометрию. Несмотря на всю ее логичность, эти рассуждения не основаны на аксиомах и не приводят к доказательству уже известного результата. Мы видим перед собой не теорему, доказательство и вывод, а поиск некоторого объекта, природу которого мы узнаем лишь по мере приближения к нему.
Математика как культурный феномен
Математическая мысль усложняется в культурах, которым известна письменность, и напрямую связывается с ней. Мы гораздо больше знаем о тех культурах, от которых до нас дошли письменные свидетельства.
В египетских пирамидах мы видим квадрат, а не круг. В Стоунхендже мы видим круг, а не квадрат. Быть может, форму квадрата должны были иметь монументы, имевшие отношение к загробному миру, подобно пирамидам? Быть может, круг имеет большее отношение к астрономии и ритуалам-, связанным с Солнцем и Луной?
Культуры, о которых мы рассказали в этой главе, давно прекратили свое существование. Математические идеи в них зародились намного раньше, чем возникла так называемая западная культура. Развитие этих идей носило локальный характер: все народы занимались математикой по-своему и независимо друг от друга решали практические задачи. Эта математика была этноматематикой.
Мы имеем некоторое представление о том, что такое математика, как она создается, и наше представление опирается на идею непрерывности пространства и времени. Но, по всей видимости, эта идея возникла лишь с появлением нашей культуры. А что происходит и происходило за ее пределами? В доколумбовой Америке существовали народы, создавшие важные математические знания. Этот процесс не прекращается в самых разных культурах с момента открытия нового континента и до наших дней — именно благодаря ему эти культуры смогли выжить и дойти до нас. Обо всем этом мы и поговорим дальше.
