Маятник старинных часов раскачивается в заданном темпе, который определяется длиной его стержня. Хотя невооруженному глазу это не так заметно, но приведенная в движение струна таким же образом колеблется вверх и вниз, и частота ее колебания, опять же, зависит от ее длины (хотя свободно качающимся маятником и закрепленной струной управляют разные силы). Если укоротить струну вдвое, то она будет колебаться вдвое быстрее и звучать на октаву выше
Два элемента такого музыкального союза будут колебаться в соотношении 2:1. Теперь представим, что один из этих элементов сойдет с пути, в результате чего их взаимоотношения деградируют от устойчивого 2:1 к более сложной зависимости: например 1,9:1. При взгляде на картину или на скульптуру человеческий глаз, вероятно, даже и не заметит подобного легкого сдвига – ухо, однако, мгновенно почувствует, что это уже не прежний дружественный союз: на место безмятежного созвучия придет новое, скрипучее и словно бы “скисшее”. Скажем прямо – это экстремальный пример: музыкальное соотношение 2:1 самое простое – и одновременное наименее терпимое к каким-либо девиациям. И тем не менее факт остается фактом: приятная слуху гармония возникает лишь из элементарных математических соотношений. Любое усложнение ведет к хаосу.
Пропорция 2:1 – первая в списке Пифагоровых музыкальных соотношений. Следующая связана с теми интервалами, в которых на каждые три колебания более высокого звука приходится два колебания более низкого. И, наконец, последняя описывает те случаи, при которых два звука вибрируют в соотношении 4:3.
С этого открытия Пифагора ведет свою историю наука об определении длины струн в музыкальных инструментах – и, соответственно, “музыкальных расстояний” между звуками. Мы можем составить приблизительное представление о найденных им пропорциям, используя следующие ноты на фортепианной клавиатуре:
Если спеть или сыграть знакомую музыкальную гамму до-ре-ми-фа-соль-ля-си-до, то интервал, или “музыкальное расстояние” между нижним и верхним до, будет называться октавой (помните: высота тона на клавиатуре увеличивается слева направо). Их колебания находятся в соотношении 2:1 – при условии, что натяжение струны и материал, из которого она сделана, одинаковы (это тоже влияет на высоту тона), струна, соответствующая нижнему до, будет вдвое длиннее той, которая соответствует верхнему, и колебаться, таким образом, будет в два раза медленнее. Впрочем, интервалы могут начинаться с любой ноты, поэтому другие подобные октавы, которые можно найти на фортепианной клавиатуре, это расстояние от ре до ре, от ми до ми, от фа до фа и так далее. Чтобы представить себе звучание октавы, вспомните первые две ноты песни “Over the Rainbow”[9], соответствующие слову somewhere в тексте. Их разделяет целый скачок по звукоряду, но, тем не менее, оба до звучат столь похоже друг на друга, что становится понятно: они не зря называются одинаково. Слушая эти две ноты, представляешь себе два отражения одного и того же предмета или две точки на одной и той же прямой.
Музыкальный интервал, называемый чистой квинтой, получается, если сыграть или спеть ноты до и соль (а также ре и ля, ми и си) опять-таки слева направо.
Это первая и пятая ноты стандартной музыкальной гаммы. Как и в любой квинте, соль вибрирует быстрее, чем до, в пропорции 3:2 (и такое же соотношение отличает длины соответствующих им струн).
Рихард Штраус использовал этот интервал в начале симфонической поэмы “Так говорил Заратустра” (знакомой киноманам всего мира как торжественная заглавная тема фильма “2001: Космическая одиссея”). В популярной народной песне “Kumbaya”[10] чистую квинту образуют первая и третья ноты.
Тона чистой квинты, взятые одновременно, в гармонии, звучат как удачное сочленение идеально подходящих друг к другу частей, счастливый брачный союз любящих сердец. Открытое, прозрачное звучание этого интервала также вызывает ассоциацию с двумя люминесцентными линиями, параллельными друг другу, чей свет заполняет разделяющее их пространство. Спустя тысячу лет после Пифагора, Галилей, рассуждая об эффекте, который создает это созвучие, писал, что оно “производит весьма приятное щекотание слуховой перепонки, при котором нежность и острота умеряют друг друга, и кажется, что одновременно получаешь сладостный поцелуй и легкий укол”[11].
Интервал, при котором два звука колеблются в соотношении 4:3 (и таково же оказывается соотношение длин соответствующих струн), называется чистой квартой. Его можно услышать, если сыграть или спеть до и следующее выше него фа (а также ре и соль или соль и до). Рихард Вагнер использовал эту кварту в знаменитом “Свадебном хоре” из оперы “Лоэнгрин” (“Вот идет невеста”). Популярная песня Auld Lang Syne”[12] также начинается именно с него.
Таковы были созвучия – союзы, которые заключали друг с другом музыкальные тона под пристальным взором богов. Впрочем, для пифагорейцев важность этих пропорций была далеко не только музыкальной. Это были свидетельства естественного порядка, такие же, как законы о длине сторон треугольника; в музыкальных правилах воплощалась та же самая геометрия, только управляющая не статичными, а движущимися объектами – например, вибрирующими струнами, а также небесными телами и человеческими душами. Во всех своих постулатах Пифагор находил ответы на вопросы, задаваемые самой жизнью, – и тем оказал огромное влияние на философов последующих тысячелетий. Он положил конец хаосу беспредельной Вселенной – или, по крайней мере, так казалось. Однако глубоко внутри его знаменитых формул прятался фатальный изъян – и он знал об этом. Это знание стало главной тайной пифагорейского культа, раскрывать которую запрещалось под страхом смерти.
Заключалась она вот в чем: порой результатом расчетов Пифагора оказывались диковинные, недоступные пониманию числа. Греки называли их алогон, “непроизносимыми”; сегодня они чаще всего называются “несоизмеримыми”. Членам Пифагорова ордена было запрещено упоминать об их существовании, ведь они принадлежали миру не герметичному, но беспредельному.
Хороший пример – соотношение стороны квадрата и его диагонали. Пифагоровы правила были рассчитаны на то, чтобы измерить длину любой диагонали, но в случае с квадратом получались иррациональные числа, такие, например, как У2. В рамках системы целых чисел этот квадратный корень не может быть выражен – ведь у него нет предела, его период длится бесконечно.
В наш продвинутый научный век черных дыр и антивещества оперировать подобными числовыми значениями может, кажется, даже ребенок. Но во времена Пифагора само их существование мыслилось своего рода порталом в иные, опасные миры. Оно порождало пугающие выводы: ведь если существуют бесконечные числа, то и прямые, получается, могут бесконечно делиться на отрезки. А если прямые делятся бесконечно, то они не могут состоять из набора исчислимых, четко обрисованных Пифагором элементов – то есть вся его философия материального мира обессмысливается! Теорема Пифагора оборачивается ее собственным зеркальным отражением, дорогой в беспредельную и неопределенную вселенную – но лишь для тех, кто знал этот секрет. До нас дошли сведения о судьбе тех, кто разгневал богов, разболтав эту тайну людям, – они, как сообщал Прокл, погибли при кораблекрушении, все до одного.
И в музыкальных пропорциях, предложенных Пифагором, как выяснилось, был тот же изъян. По легенде, философ сам обратил на него внимание, когда измерял музыкальные соотношения на инструменте собственного изобретения под названием монохорд. Он состоял из одной-единственной струны, подвешенной над подвижной подставкой; эта самая подставка удлиняла или укорачивала тот отрезок струны, который должен был колебаться. Представим, что, когда Пифагор впервые дернул открытую струну монохорда, он получил ноту до. Затем, передвигая подставку, он достиг точки, в которой обнаружилась нота до следующей октавы. Отсчитав такое расстояние от этой, новой точки, он получил еще одну, более высокую ноту до, и так далее – в итоге получилось семь октав.
На другом монохорде он проделал сходную процедуру, с той разницей, что здесь подставка передвигалась на меньшее расстояние – требовалось отступить от начального звука на квинту, нащупав интервал от до до соль. От соль он вновь двинулся на квинту вверх, достигнув ноты ре, а оттуда – к следующей квинте, ля. Этот трюк Пифагор повторил двенадцать раз, пройдя по ходу дела через все двенадцать нот, предлагаемых современной фортепианной клавиатурой (как белыми, так и черными клавишами). Подобная последовательность квинт как бы описывала полный круг, прежде чем достигала того же тона, как тот, с которой она начиналась. В финале эксперимента, не сомневался Пифагор, он придет к тому же самому до, к какому пришел, отсчитывая октавы на первом монохорде.
