Читаем без скачивания Том 31. Тайная жизнь чисел. Любопытные разделы математики - Хоакин Наварро

Джон Форбс Нэш.

Домохозяйка днем и геометр — ночью

Крайне редко бывает так, что простая домохозяйка в промежутках между варкой макарон и вышиванием демонстрирует всем, что ее мозг работает не хуже, чем у знаменитого сыщика Эркюля Пуаро. Но именно это и произошло с уставшей от домашних дел калифорнийской домохозяйкой Марджори Райс (род. 1923), которая всегда любила математику и головоломки. Сначала она помогала детям решать домашние задания по математике, а в конце концов даже специалистов заставила раскрыть рты от изумления. Как-то в руки Марджори попал номер журнала Scientific American, в котором его знаменитый колумнист Мартин Гарднер (1914–2010) объяснял результаты, полученные Кершнером и касающиеся замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Марджори увлеклась этой задачей и в свободное время за два следующих года нашла четыре принципиально новых замощения плоскости выпуклыми пятиугольниками. Одно из ее решений изображено на рисунке.

Фрагмент найденного Марджори Роуз замощения плоскости пятиугольниками. Оно называется «рыбы»: если изобразить в каждом пятиугольнике узор, показанный сверху, то плоскость будет полностью покрыта рыбами, как на одной из знаменитых гравюр Маурица Корнелиса Эшера.

Это далеко не единственный случай, когда математик-любитель затмевал профессиональных ученых. Как видите, порой официальные титулы значат немного.

Удивительная история гения, который не хотел быть таковым

Об Александре Гротендике (род. 1928), математике немецкого происхождения, которого многие считают французом, написано немало. Его считают настоящим гением алгебраической геометрии, хотя объяснить суть его открытий в этой сфере очень и очень сложно. Гротендик изучал столь абстрактные разделы математики, что даже классифицировать его труды непросто. Он до сих пор жив, но мы говорим о нем в прошедшем времени, потому что математик удалился от мира в 1988 году: он оставил науку и поселился на юге Франции, близ Андорры, в совершенной изоляции от всего мира.

История Гротендика достаточно драматична: по происхождению он был евреем, родители оставили его в детстве, чтобы сражаться в гражданской войне в Испании, потом его отец умер в Аушвице. В биографии математика можно найти странные браки и непримиримую борьбу за мир, он отличался экстремистскими взглядами и выдающимся умом, благодаря которому открывал новые понятия и создавал передовые математические теории. Гротендик стал автором более десятка современных математических понятий с достаточно живописными названиями (схемы, топология и пространства Гротендика, теория детских рисунков, кристаллическая когомология и так далее).

В 1966 году ученый был удостоен Филдсовской премии, но отказался ее принять. В 1988 году ему была присуждена престижная премия Крафорда — аналог Нобелевской премии в дисциплинах, где эта премия не присуждается. Гротендик отказался и от нее. Золотые годы он провел в Институте высших научных исследований близ Парижа и покинул его, едва узнал, что финансирование частично предоставлялось источниками, близкими к вооруженным силам. Один из докторантов Гротендика, Пьер Делинь (род. 1944) в 1978 году был также удостоен Филдсовской премии.

Позднее были опубликованы остросюжетные, хотя и весьма путаные воспоминания ученого, а также несколько его трудов. Все эти книги отличались внушительными размерами. Он редко вступал в личный контакт, предпочитая переписку. Уже более 20 лет нам ничего неизвестно о его новых работах, и нет надежды, что имя Гротендика когда-нибудь промелькнет в новостях — разве что по случаю его кончины. Как жаль, что мы лишились такого ученого!

Тони Блэр и носорог

Как вы уже знаете, некоторые правители, к примеру Наполеон или Имон де Валера, испытывали любовь к математике. Например, экс-президент США Джеймс Гарфилд (1831–1881) во время одного из скучнейших заседаний даже нашел новое доказательство теоремы Пифагора. Однако существуют и политики, взаимоотношения которых с математикой не столь успешны. Известна очень смешная история о Тони Блэре, рассказанная учителем математики в Chorister School, где юный Блэр учился. В ответе к задаче о прямоугольных треугольниках он почему-то упомянул слово «носорог». Блэр признался, что использовал это слово по уважительной причине: «Я бы написал "гиппопотам", но не был уверен, как именно оно пишется, поэтому не захотел огорчать учителя и написал первое более или менее похожее слово, которое пришло в голову». Словом, которое никак не мог вспомнить Блэр, была «гипотенуза». В этот момент Евклид, наверное, перевернулся в гробу.

Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза» (англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы привели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рассказывается об известной личности.

Бутылка, у которой нет «внутри» и «снаружи»

Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в нашем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито. Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математические бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие весьма необычными свойствами. Немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) в 1882 году описал бутылку, у которой, как вы можете видеть, нет ни внутренней, ни наружной части. И выпить из нее нельзя.

Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой, но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя, а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометрической точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёбиуса.

Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он должен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:

(x2 + у2 + z2 + 2у — 1)·[(x2 + у2 + z2 — 2y — 1)2 — 8z2] + 16xz(x2 + y2 + z2 — 2y — 1) = 0

Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово «бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное название стало в научном мире общепринятым.

Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в интернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.

Глава 3

Анализ

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.

А что такое эти самые исчезающие приращения?

Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули.

Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

Епископ Джордж Беркли (1685–1753)

Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst, 1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа, посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел в виду Эдмунда Галлея (1656–1742), который славился своей недоверчивостью.

В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчисления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезосновательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непонятны, то не следует верить и в почти мистические хитросплетения математического анализа.

Прошли годы и даже столетия, доверие к математическому анализу было восстановлено благодаря более строгим и четким, но менее интуитивным определениям. Тем не менее не стоит забывать слова Беркли, превосходного философа-эмпирика (его именем назван знаменитый американский университет). Напротив, следует отдать ему дань уважения за грамотную и обоснованную критику.