Материал имел огромный успех у детей пяти с половиной лет. Они трудились с огромным энтузиазмом, делая до 60 арифметических операций подряд, заполняя целые тетради результатами многодневных вычислений. Для записей мы приготовили ученикам особую бумагу: обычные листы в клеточку, только клеточки нарисованы линиями разных цветов. На одном — черные, на другом — красные, на третьем — зеленые, голубые, розовые, коричневые. Разнообразие цветов привлекает ребенка, делает его работу приятной. Едва записав цифры на одном листочке, малыш хватает следующий, другого цвета, и т. д.
Опираясь на свой опыт, мы приготовили побольше стержней с десятью бусинами, десятков. Дети постоянно доставали из коробки все десятичные стержни и считали десятками: 10, 20, 30, 40… Мы сделали коробки с десятками (полные десятичных стержней). Там же лежали карты, на которых было написано 10, 20, 30… Дети раскладывали на карты нужное количество десятичных стержней. Это прекрасная подготовка к умножению на 10. Карты, на которых написано 100 и 1000, позволяют детям составлять такие большие числа, как 1916. Упражнения с бусинами готовят к устному счету.
Это умение появляется внезапно, словно само собой. Ребенок постепенно перестает пересчитывать бусины, а узнает количество их на стержне по цвету. Красные — значит 10, зеленые — 6. И незаметно начинает считать по цвету, не по бусинкам. То и дело раздается крик: «Я сосчитал в уме! Это гораздо быстрее!» Значит, ребенок уже перешел к следующему этапу, разноцветные бусины ему больше не нужны.
Десятки, сотни, тысяча
Материал. Мы сделали цепь, соединив 10 десятичных стержней. Цепь назвали сотенной. Потом соединили 10 сотенных цепочек при помощи гибких соединений — получилась тысячная цепь. Эти цепи были того же цвета, что и десятичные стержни, — красного. Их длина потрясала. Положим сначала одну бусину (единица), потом стержень с десятью бусинами (длиной примерно 7 см) — десяток, потом сотенную цепь (70 см) — сотня и, наконец, тысячную цепь длиной около 7 метров. 1,10, 100 — можно разложить на столе, исследовать с удобством. Для тысячной цепи не хватит и целого класса. Придется выйти в коридор, даже во двор. Одному человеку не под силу разложить тысячную цепь — несколько ребятишек должны терпеливо растягивать ее, а потом нужно еще пройти много шагов, чтобы увидеть цепь целиком.
Это ощущение соотношения величин становится настоящим событием для детей. Целыми днями дети увлеченно возятся с тысячной цепью. Гибкие соединения после каждой сотни позволяют складывать ее. Можно, укладывая сотню над сотней, соорудить длинный прямоугольник и увидеть площадь величины, представленной сначала как длина.
Вы спросите, как помочь ребенку количественно оценить соотношение величин, интуитивно воспринимаемое на глаз. Мы задавали себе тот же вопрос. Тем бременем ученики были заняты подсчетом бусинок, одну задругой, терпеливо, от 1 до 100, сгрудившись кучей над тысячной цепью. Ничто в мире не могло поколебать их решимости сосчитать бусины на этой громадине. «Сто, а что потом?» — «Сто один». — «А после двухсот?» — «Двести один». Дошли до семисот. «Я устал, — говорит малыш, — я оставил метку, завтра досчитаю». Семьсот, семьсот… «Смотри, — говорит ребенок приятелю, — это семь, семь сотен. Да! Можно считать сотенные цепи! Семь сотен, восемь сотен, девять сотен и тысяча. Мадам! Мадам! В тысячной цепи 10 сотенных! Вот они!» Остальные ученики, работавшие с сотенными цепями, вдруг обнаруживают: «Смотрите! В сотенной цепи 10 десятичных стержней!» Значит, можно дать представление о десятках, сотнях, тысячах, предоставив пытливому детскому уму цепи из бусинок и уважая свободное проявление детской активности.
Именно так случается чаще всего, иногда требуется самое незначительное вмешательство взрослого. Достаточно привлечь внимание к манипуляции с цепью — идея предстает во всей своей простоте.
Сторонники нашего метода, впрочем, умеют ждать, они понимают, как нужна ребенку неспешная умственная работа, насколько естественно и неожиданно может созреть идея, как неизбежен взрыв открытия. Чем больше мы предоставляем детей их интересу, тем большую ценность обретают полученные ими результаты.
Счеты, отражающие десятичную систему
Непосредственное вмешательство учителя, его короткое, понятное объяснение необходимы для представления другого материала, который, можно сказать, символически представляет десятичную систему. Речь идет о счетах, очень простых. Они того же размера, что и рамки со шнуровками для малышей, легкие, ими просто манипулировать, несложно и недорого изготовить. Каждому ученику можно дать собственные счеты в личное пользование.
Счеты первой разновидности — малые. На четырех горизонтальных металлических спицах нанизаны бусины, по 10 на каждой. Три верхние спицы расположены на одинаковом расстоянии, нижняя — гораздо дальше от остальных, она выделена металлической шишечкой, закрепленной на левой стороне рамки. Сама рамка ниже этой шишечки выкрашена в один цвет, выше — в другой. На левой стороне рамки рядом с местом крепления каждой спицы написаны числа: рядом с верхней спицей — 1, со второй — 10, с третьей — 100, рядом с нижней, отдельной спицей — 1000.
Мы объясняем ребенку, что считаем каждую бусину на верхней спице единицей, как всякую отдельную бусину (здесь бусины зеленые). Каждая синяя бусина на второй спице представляет сразу десяток (как десятичный стержень), красная бусина на третьей спице — сотня (сотенная цепь), зеленая бусина на четвертой спице — тысяча, она равна тысячной цепи.
Конечно, освоить эту символику детям непросто, однако, если мы дадим им время спокойно разглядывать счеты, считать бусины, изучать цепи, они, в конце концов, во всем разберутся. Идея соотношения единицы, десятка, сотни, тысячи созреет в них постепенно, ученики поймут смысл символики, научатся ею пользоваться.
К счетам прилагаются расчерченные листочки. Они поделены вертикальной линией на две равные части. И на правой, и на левой части проведены вертикальные параллельные линии на равном расстоянии: крайняя справа — зеленая, затем синяя, затем красная. Пунктирная линия отделяет эту группу от еще одной вертикали, проведенной на большем расстоянии (сдвинутой влево). На трех первых вертикалях пишут (справа налево) единицы, десятки, сотни, на отдельной вертикали после пунктира — тысячи. Правая сторона листочка предназначена для объяснения данной идеи, для установления связи между записью и счетами, символизирующими десятичную систему.
Сначала можно посчитать бусины на счетах, приговаривая: «Первая спица: одна единица, две единицы, три единицы, четыре единицы, пять единиц, шесть единиц, семь единиц, восемь единиц, девять единиц, десять единиц. Все десять единиц равны одной-единственной бусине на нижней, второй спице». Так же считаем бусины на второй спице: «Один десяток, два десятка, три десятка, четыре десятка, пять десятков, шесть десятков, семь десятков, восемь десятков, девять десятков, десять десятков. Все десять десятков, десять бусин второй спицы равны одной бусине на нижней, третьей спице». Так же считаем бусины на третьей спице: «Одна сотня, две сотни, три сотни, четыре сотни, пять сотен, шесть сотен, семь сотен, восемь сотен, девять сотен, десять сотен. Все десять сотен, десять бусин третьей спицы равны одной бусине на нижней, четвертой спице». Тысячных бусин тоже 10: «Одна тысяча, две тысячи, три тысячи, четыре тысячи, пять тысяч, шесть тысяч, семь тысяч, восемь тысяч, девять тысяч, десять тысяч». Ребенок может представить себе десять тысячных цепей. И символ соединится с зрительным представлением о количестве.
Теперь нужно как-то записать все наши счетные действия. На правой вертикальной линии (зеленой) мы пишем единицы, одну под другой. На второй вертикали (синей) — десятки (столбик располагается ниже единиц), на третьей вертикали (красной) — сотни (еще ниже). На четвертой вертикали, отделенной пунктиром, — тысячи (внизу листа). Горизонтальные линии листочка позволяют спускаться постепенно от единиц до тысячи.
Вот мы написали цифру 9 на зеленой единичной вертикали. Теперь мы переходим от единичной вертикали к десятичной, пишем там цифру 1. Действительно, 10 единиц — один десяток. Написав 9 на десятичной вертикали (синей), переходим к сотенной линии (красной). Написав 9 на сотенной линии, переходим к тысячной, потому что, в самом деле, 10 сотен — это тысяча. Цифры закономерно сменяют друг друга (от 1 до 9), затем — переход. Эта идея должна созреть в сознании детей. Девять цифр, меняя места, способны выразить любое число в мире! Не цифра сама по себе, ее место по отношению к другим придает ей определенное значение. Иногда это 1, иногда 10, или 100, или 1000. И так до бесконечно огромных величин, которые мы и представить себе не можем. У нас есть тысячная цепь — ее длина 70 метров. А десятитысячная цепь, десять тысячных цепей, была бы длиной с целую улицу. Вот для чего нужны символы. Вот как важно место цифры в числе!
