— 310 —
вскоре восточные царства пали под натиском греческого оружия. Вспомни-ка походы Александра! А затем в новом богатом эллинистическом мире, где смешались древневосточная культура и греческая городская цивилизация, произошли и новые математические открытия. Великий философ Древней Греции Аристотель, основатель научной логики, учил, что геометрия занимается вещами недвижимыми, если не считать того, что двигается по небу, то есть тела небесные. Но вскоре понятие движение вошло и в геометрию. Аристотель в свое время учил, что точка «не может двигаться», что она есть пересечение двух прямых, подобно тому, как прямая — пересечение двух плоскостей, а плоскость — граница объема. Но пришло время новых задач, более трудных, и они потребовали ввести в геометрию движение.
— Вообще, — добавил Радикс, — в древности, а также и в средневековье полагали, что геометрия строится путем чистого рассуждения и как бы независимо от опыта, что, разумеется, неправильно. Отсюда делался необоснованный вывод, что такого рода наука в некотором смысле выше наук опытных, так как опыт, дескать, может и обмануть. Греческий философ и математик Платон утверждал, что геометрия «разрушается», если мы «низводим ее к чувственному миру», то есть к миру опыта, вместо того чтобы «насыщать ее невещественными и мысленными образами», то есть плодами чистого рассуждения и размышления. Отчасти это было полезно тем, что люди научились рассуждать абстрактно, а в этом был, конечно, свой смысл. Наконец греки столкнулись с задачами, к которым с помощью таких рассуждении подойти было невозможно.
И тогда-то в геометрические задачи и вторглось нечто совершенно новое, а именно движение.
— А что же тут такого? — спросил Илюша. — Почему же нельзя рассуждать о движении в математике? Разве это так сложно?
— Спустя много веков после того, как греки впервые подумали об этом, конечно, вопрос этот кажется совершенно несложным. А в то время это было не так-то просто. Геометрия Востока учила главным образом вычислять площади. Греки сами немало потрудились над определением объемов. Но вое это касалось свойств некоторых неподвижных и вполне определенных тел и фигур. Когда же дело коснулось линий, порожденных движением, то возникло немало споров о том, что такое движение, можно ли говорить о нем с той же строгостью и точностью, с какой мы говорим о геометрических соотношениях. И были такие философы, которые утверждали, что говорить о движении вообще невозможно, что это понятие разрушает всю человеческую логику.
— 311 —
— Как странно это! — сказал Илюша. — Впрочем, мне вспоминаются стихи Пушкина:
Движенья нет, сказал мудрец брадатый,Другой смолчал и стал пред ним ходить.Сильнее бы не мог он возразить;Хвалили все ответ замысловатый.Но, господа, забавный случай сейДругой пример на память мне приводит:Ведь каждый день пред нами солнце ходит,Однако ж прав упрямый Галилей.
Но что же такого в движении, что оно казалось таким неопределенным?
— При рассмотрении движения древние мыслители сталкивались с большим для них затруднением, которое представляло тогда понятие непрерывности, ибо для понимания движения следовало представить себе, что движущееся тело проходит через бесконечное множество промежуточных положений. Вспомни рассказ про Ахиллеса и черепаху из Схолии Двенадцатой.
— Как же они применили движение в геометрии? — спросил Илюша.
— Ну вот, — сказал Асимптотос, — посмотри, как решил задачу о трисекции угла греческий математик Гиппий Элидекий, современник Сократа, в пятом веке до вашей эры. Возьмем квадрат ABCD. Радиусом АЕ, равным стороне квадрата, проведем четверть окружности BED.
Приведем теперь радиус АЕ в совпадение со стороной АВ и будем поворачивать его по движению часовой стрелки по направлению к стороне AD. В то же время будем перемещать сторону ВС вниз параллельно ей самой так, чтобы это перемещение шло равномерно, согласованно с движением радиуса.
— Не понимаю, — сказал Илюша. — В каком смысле согласованно?
Сторона ВС опускается вниз; радиус АЕ поворачивается вокруг точки А по часовой стрелке. Кривая BFG называется квадратрисой. Она есть геометрическое место точек пересечения двигающихся линий ВС и АЕ. АВ = ВС = АЕ.
— 312 —
— В таком, что обе линии начинают двигаться в один момент, а затем в один и тот же момент сливаются с линией AD.
Если они будут двигаться именно так, то когда линия ВС пройдет половину стороны АВ, радиус АЕ пройдет половину угла BAD. Следовательно, если линия ВС пройдет четверть своего пути, то и радиус АЕ пройдет четверть прямого угла, и так далее. Будем теперь отмечать точки пересечения радиуса АЕ и стороны ВС. Геометрическим местом этих точек пересечения будет кривая BFG, намеченная пунктиром. Очевидно, что мы можем получить любое число таких точек, то есть построить всю кривую BFG. Когда же это сделано, нам достаточно разделить сторону CD на любое число равных частей, чтобы разделить угол на то же число частей. Если я разделю сторону CD на три части, как показано на этой странице, и проведу через точки H и I линии, параллельные стороне ВС, то точки пересечения этих прямых НК и IL с кривой BF1F2G, то есть точки F1 и F2, достаточно соединить прямыми с точкой А, чтобы разделить угол BAD на три части. И подобным же образом можно поступить не только с прямым, но и с любым углом и с любыми его частями, то есть разделить любой угол на любое число частей. Видишь, как все это просто и как остроумно решено.
— Да! — сказал Илюша. — Правда, очень просто! А что же это за кривая?
— Кривая эта называется квадратрисой. Это гораздо более хитрая кривая, чем те, с которыми древние геометры имели дело до нее. Следовательно, древним для решения этой задачи пришлось изобрести новую кривую. Именно это решение и вводит в ход рассуждения движущиеся линии, тогда как раньше речь шла только о соотношениях неподвижных линий. Говорят, философы были недовольны и считали, что это решение не геометрическое, а механическое. Но опыт показывал, что решение получается скоро и просто.
— Вот, значит, — добавил Асимптотос, — и выходит, что, заставив точку непрерывно двигаться и, полагая, что она, дви-
— 313 —
гаясь, может начертить кривую, мы и получаем несложное средство для деления угла на любые части. Только в дальнейшем выяснилось, что сама эта кривая значительно сложнее и окружности и параболы. Но тем не менее был найден новый способ для решения задач. Это одна из так называемых «механических кривых» древности. «Механической» она называлась потому, что ее тогда невозможно было обосновать теоретически из геометрических соображений. И как ни странно, ни одна из таких «механических» кривых не повлияла непосредственно на развитие древней науки. Они стали приносить пользу только уже во времена Ньютона. Древняя математика еще не в силах была осмыслить их. Догадаться, как надо сделать, смогли, а рассудить почему — не сумели. Поэтому и философы ворчали и говорили, что это «не настоящая» геометрия.
— Однако имей в виду, — заметил Радикс, — что в руках Архимеда этот способ чертить кривые при помощи движущейся точки дал необыкновенный результат.
— Какой?
— Ты, наверно, знаешь, что такое граммофонная пластинка?
— Еще бы! — отвечал Илья не без удивления. — У нас их очень много.
— Очень хорошо — одобрил Радикс. — А теперь скажи, пожалуйста, какую кривую описывает иголка звукоснимателя, когда она бежит по бороздке пластинки?
— Папа говорит, что это спираль…
— Верно. Так эту самую спираль и нашел Архимед. Она так и называется «спираль Архимеда». Точка чертит спираль.
— А как она чертит? Я понимаю, как иголка бежит по пластинке. Но как это получается с точкой?
— В проигрывателе пластинка вращается. Но в нашем опыте мы ее оставим неподвижной, а в центре укрепим отрезок прямой и, пользуясь нашими волшебными возможностями, прикажем отрезку: вращайся вокруг этой средней точки против часовой стрелки (это направление мы будем считать положительным), но при этом увеличивайся в длине в соответствии с углом, на который ты повернулся. Чтобы нам удобней отсчитывать вращение отрезка, мы направо от точки в середине проведем горизонтальную прямую и назовем ее полярной осью. Пока отрезок — радиус-вектор — будет еще лежать на полярной оси, угол его с ней равен нулю, а затем он будет увеличиваться. Итак, вперед!
