Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера («Введение в анализ бесконечно малых», 1748; Письмо к Х. Гольдбаху от 4 июля 1744), например:
,
Эйлер указал на связь между степенными рядами и Т. р.: если , где cn действительны, то (где Re обозначает действительную часть функции). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания струны (1748); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь те функции, которые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении
,
а именно:
,
были впервые указаны А. Клеро (1757), а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для a 0 и a 1 встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754).
Т. р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50—70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что «произвольная» функция может быть разложена в Т.. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция ). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т. р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811); он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд ). После исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математическую физику (С. Пуассон , М. В. Остроградский ). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математического анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902—06), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин , Д. Е. Меньшов и др.
Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М. — Л., 1951; Барин. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1—2, М., 1965.
Тригонометрическое уравнение
Тригонометри'ческое уравне'ние , алгебраическое уравнение относительно тригонометрической функций неизвестного аргумента. Для решения Т. у., пользуясь различными соотношениями между тригонометрическими функциями , преобразуют Т. у. к такому виду, чтобы можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого аргумента. После этого корни Т. у. получаются с помощью обратных тригонометрических функций . Например, sin х + sin 2x + sin Зх = 0 можно привести к виду 2 sin 2x cos х + sin 2x = 0 или sin 2x (2cos х + 1) = 0, откуда sin 2x = 0 или же cos х = —1/2; это даёт решения Т. у. х = Arc sin 0 = и х = Arc cos ( — ) = 2/3p(Зn ± ), где n — произвольное целое число (положительное или отрицательное).
Тригонометрия
Тригономе'трия (от греч. trígōnon — треугольники ¼метрия ), раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Т. делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию . Теория тригонометрических функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников изучаются в средней школе.
Основные формулы плоской Т. Пусть а , b , с — стороны треугольника, А , В , С — противолежащие им углы (А +В +С = p), ha , hb , hc — высоты, 2p — периметр, S — площадь, 2R — диаметр окружности, описанной около треугольника. Теорема синусов:
,
теорема косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos A ,
теорема тангенсов:
,
площадь треугольника:
.
Углы треугольника, если известны стороны, могут быть найдены по теореме косинусов или по формулам вида:
.
Плоская Т. начала развиваться позже сферической, хотя отдельные теоремы её встречались и раньше. Например, 12-я и 13-я теоремы второй книги «Начал» Евклида (3 в. дон. э.) выражают по существу теорему косинусов. Плоская Т. получила развитие у аль-Баттани (2-я половина 9 — начало 10 вв.), Абу-ль-Вефа (10 в.), Бхаскара (12 в.) и Насирэддина Туси (13 в.), которым была уже известна теорема синусов. Теорема тангенсов была получена Региомонтаном (15 в.). Дальнейшие работы в области Т. принадлежат Н. Копернику (1-я половина 16 в.), Т. Браге (2-я половина 16 в.), Ф. Виету (16 в.), И. Кеплеру (конец 16 — 1-я половина 17 вв.). Современный вид Т. получила в работах Л. Эйлера (18 в.).
Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1—2, М., 1966.
Тридакны
Трида'кны (Tridacna), род крупных двустворчатых моллюсков. Обитают в прибрежной зоне тропических морей. Несколько видов, среди которых наиболее известна распространённая в Тихом океане Т. гигантская (Т. gigas) с раковиной длиной до 1,4 м , которая весит до 250 кг . Створки раковины одинаковые, очень массивные, без перламутрового слоя, характеризуются радиальной волнистостью, грубыми чешуями и ребрами на поверхности. Жители островов Океании используют раковины Т. как строительный материал и для изготовления домашней утвари, украшений, амулетов, а также в качестве денег для местной торговли.
Тридентский собор
Триде'нтский собо'р , Триентский собор, вселенский собор католической церкви, заседавший в 1545—47, 1551—52, 1562—63 в г. Триент [нем. Trient, лат. Tridentum, современный Тренто (итал. Trento)], в 1547—49 — в Болонье. Был созван в связи с успехами Реформации по настоянию многих прелатов и императора Карла V (стремившегося покончить с религиозными раздорами в империи и реформировать церковь в духе требований соборного движения ). Открыт римским папой Павлом III. Наметились 2 лагеря: лагерь, возглавлявшийся императором, настаивал на реформе церкви, искоренении злоупотреблений духовенства, считал допустимыми некоторые уступки протестантам в области догматики; лагерь папы настаивал на укреплении церковного единства в борьбе с реформационным движением, на решении догматических вопросов в строго ортодоксальном и традиционном духе, отвергал малейший компромисс в вопросах доктрины. Т. с. закончился победой папской партии. Его постановления закрепили все традиционные догматы католического вероучения. Т. с. усилил организационно католическую церковь: подтвердил верховенство папы над собором, увеличил власть епископов в пределах их диоцезов (расширив право надзора за духовенством), укрепил дисциплину монашеских орденов. Важнейшим результатом Т. с. было усиление гонений на протестантов, введение строгой церковной цензуры, расширение деятельности инквизиции. Стремясь подчинить своему влиянию духовную жизнь общества, католическая церковь обязала духовных лиц и профессоров католических университетов присягать обнародованному в 1564 «Тридентскому исповеданию веры», закреплявшему средневековые догматы католицизма. Постановления Т. с., формально обязательные для всех католиков, были официально приняты в Савойе, Португалии, Венеции, Польше (с 1577), Испании (с оговорками о сохранении прав короля на назначение епископов и на вмешательство в деятельность церковного суда). Во Франции они не были приняты официально, но французское духовенство в 1615 объявило о своём подчинении им. Решения Т. с. надолго определили деятельность католической церкви эпохи Контрреформации.
Лит.: Richard P., Concile de Trente, v. 1—2, P., 1930—31; J edin Н., Storia del concilio di Trento, Brescia, 1949.
