I. Математические модели, лежащие в основе опционов
Ознакомившись с формулами, на основании которых оцениваются опционы и управляются опционные позиции, читатель приобретет психологическую уверенность, поскольку отсутствие пробелов в знаниях поможет избежать грубых ошибок в торговле. Но работа на финансовых рынках – это искусство, которое складывается из многих компонентов, лишь одним из которых является знание финансовой математики. Поэтому, хотя психологически важно ознакомиться с формулами, на которых базируются опционы, большинство практиков согласится, что знание формул не является необходимой составляющей успеха.
1. Базовые понятия. Выведение формулы опциона колл
Начнем с рассмотрения стандартного европейского опциона колл (call). Это контракт, дающий владельцу право в определенный момент времени купить определенный актив по определенной цене (цене исполнения).
Опционный контракт является правом, но не обязательством для его владельца. Поэтому, если владелец опциона считает, что исполнение опциона по оговоренной в контракте цене убыточно для него, он может контракт не исполнять. В этом случае неисполненный опционный контракт истечет.
Цену опциона (С) в настоящий момент определяют:
T – время, оставшееся до исполнения опциона (time to maturity);
S – цена спот актива в настоящий момент (spot price);
K – цена исполнения опциона или страйк (strike);
r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка (continuously compounded risk-free rate);
S(T) – цена актива в момент исполнения опциона;
σ – волатильность (изменчивость) цены актива (volatility).
Рассмотрим эти параметры.
Единицей измерения времени (Т) является год. Если до исполнения опциона осталось D дней, то Т вычисляется по формуле:
T = D ÷ 365.
Модель Блэка – Шолца была первой моделью для оценки опционов. Она использует в качестве базового актива акции. Модель[138] предполагает, что в момент исполнения опциона цена актива является логнормальной случайной величиной, т. е. логарифм отношения цен актива в текущий момент и в момент исполнения опциона имеет нормальное распределение. Это предположение довольно точно описывает реальные данные и позволяет в текущий момент оценить стоимость актива в будущем. В частности, исходя из него можно найти среднее значение цены актива и вероятность для нее подняться выше определенного уровня.
Для выведения формулы цены опциона Блэк, Шолц и Мертон вывели формулу стоимости акции. Она зависит от времени, оставшегося до исполнения опциона, цены базового актива в настоящий момент, непрерывно начисляемой безрисковой процентной ставки, а также еще одного параметра – волатильности актива.
σ – волатильность актива – параметр, характеризующий изменчивость цены актива[139].
Цена актива с большей волатильностью подвержена большим изменениям, нежели цена актива с меньшей волатильностью. В реальной жизни волатильность актива меняется в разные моменты времени, однако в данной модели мы считаем ее постоянной на протяжении всего срока действия опциона.
В момент исполнения опциона возможны две ситуации:
1) S(T) > K, т. е. цена базового актива выше цены исполнения – в таком случае прибыль от исполнения опциона равна S(T) − K [актив покупается по цене K, а затем немедленно продается по текущей цене S(T)].
2) S(T) ≤ K, т. е. цена базового актива ниже цены исполнения – тогда исполнять опцион не имеет смысла, поскольку не дороже будет купить актив по текущей цене. Прибыль от исполнения в этом случае равна 0.
Следовательно, прибыль от исполнения опциона составляет
max[0,S(T) − K][140].
Возможная прибыль от исполнения опциона на сегодняшний момент времени составляет:
max[0, S(T) − K] × e-rT,
(window.adrunTag = window.adrunTag || []).push({v: 1, el: 'adrun-4-390', c: 4, b: 390})
где e−rT – дисконтный фактор, приводящий будущую стоимость к сегодняшней. Возможная прибыль равна внутренней стоимости, умноженной на дисконтный фактор.
Поскольку цена актива – случайная величина, то цена опциона в настоящий момент времени или текущая премия равняется математическому ожиданию возможной прибыли:
C = E{e−rT × max[0, S(T) − K)]}.
После подстановки вместо S(T) логнормальной случайной величины и проведения математических выкладок, связанных с вычислением математического ожидания, мы получаем формулу Блэка – Шолца для европейского опциона колл на акцию без начисления дивидендов:
Здесь N(x) – функция распределения стандартной нормальной случайной величины; ее можно определить из таблицы стандартного нормального распределения.
Величины d1 и d2 находятся из следующих равенств:
N(d2) – вероятность того, что опцион будет исполнен, тогда:
K × e−rT × N(d2) – дисконтированные средние ожидаемые затраты по исполнению опциона;
S × N(d1) – дисконтированное среднее ожидаемое значение цены акции в момент исполнения опциона.
Таким образом, первое и второе слагаемые исходят из ваших средних ожидаемых доходов и расходов при исполнении опциона.
2. Параметры цены опциона
Из формулы Блэка – Шолца вытекает, что цена опциона зависит от следующих параметров:
r – непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка;
T – время, оставшееся до исполнения опциона;
S – цена акции в текущий момент;
K – цена исполнения опциона;
σ – волатильность акции.
Выясним, как исходные параметры влияют на цену колл-опциона. Для этого рассмотрим изменения каждого параметра, предположив, что остальные остаются постоянными.
Зависимость цены от страйка
С уменьшением K цена возрастает, так как опцион колл с меньшей ценой исполнения предпочтителен, поскольку предоставляет возможность купить актив по более низкой цене. Опцион с меньшим значением K стоит дороже не только потому, что вероятность его исполнения больше, но и потому, что на его исполнении вы больше зарабатываете.
Зависимость цены от волатильности
Чем больше σ, тем сильнее отклоняется цена акции от некоего среднего значения. С ростом цены акции возможная прибыль по опциону неограниченно возрастает, при уменьшении же цены убытки ограничены заплаченной премией, поскольку вы не обязаны исполнять опцион в убыток себе. Отсюда следует: опцион на актив с большей волатильностью должен стоить больше опциона на актив с меньшей волатильностью.
Зависимость цены от времени, оставшегося до исполнения опциона
Время, оставшееся до исполнения опциона, влияет на цену акции похожим образом. Действительно, чем больше времени до исполнения, тем больше вероятность того, что цена поднимется, и тем больше вероятность получить большую прибыль при исполнении опциона. Учитывая, что наши убытки при падении цены на акцию ограничены, становится очевидным, что с приближением к времени исполнения цена опциона уменьшается. С уменьшением времени уменьшается также и дисконтирующий множитель, приводящий будущую прибыль к сегодняшнему значению. Это увеличивает стоимость опциона, однако в меньшей степени.
Зависимость цены от изменения цены базового актива
С увеличением цены акции увеличиваются ваши ожидания того, что в момент окончания действия опциона его исполнение принесет прибыль. Следовательно, с увеличением цены актива цена опциона колл возрастает.
