Читаем без скачивания Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров - РАЛЬФ РАЛЬФ ВИНС

8

Хотя эмпирические тесты показывают, что бросок монеты не является истинно случай­ной последовательностью из-за некоторого несовершенства используемой монеты, мы будем считать, что монета идеальная с точным шансом 0,5 выпадения на лицевую или обратную сторону.

9

Отметьте, что в уравнении (2.13) ни К, ни (N — К) не могут быть равными 0. Мы можем вычислить вероятности, соответствующие К = 0 и К = N, если вычтем сумму вероятностей от К = 1 до К = N — 1 из единицы. Разделив полученное значение на 2, мы получим вероятность при К = 0 и К = N.

10

Под самым длительным проигрышем здесь подразумевается измеряемое в сделках время между моментом достижения пика баланса и моментом, когда этот пик снова достигнут или превзойден.

11

Область больших отклонении. — Прим. ред

12

На самом деле, интеграл плотности нормального распределения вероятности нельзя

pассчитать точно, но его можно с большой степенью точности получить с помощью

уравнения (3.21).

13

Предположение, что самой низкой ценой, по которой может торговаться инструмент, является ноль, не всегда верно. Например, во время краха фондового рынка в 1929 году и последующего медвежьего рьшка акционеры многих обанкротившихся банков понес­ли ответственность перед вкладчиками этих банков. Акционеры таких банков не только потеряли инвестированные в акции деньги, но также понесли убытки сверх этого

14

Различие между десятичным и натуральным логарифмом следующее. Десятичный логарифм — это логарифм, который имеет в основании 10, в то время как натураль­ный логарифм имеет в основании число е, где е = 2,7182818285. Десятичный лога­рифм Х математически обозначается log(X), в то время как натуральный логарифм обозначается 1п(Х). Натуральный логарифм может быть преобразован в десятичный путем умножения натурального логарифма на 0,4342917. Таким же образом мы можем преобразовать десятичный логарифм в натуральный путем умножения десятич­ного логарифма на 2,3026.

15

Здесь мы говорим о формулах Келли в единственном числе, хотя, фактически, есть две версии формулы Келли: одна для случая, когда отношение выигрыша к проиг­рышу составляет 1:1, а другая для случая, когда отношение выигрыша к проигрышу произвольно. В этой главе мы исходим из отношения 1:1, поэтому не имеет значения, какую именно формулу Келли мы используем.

16

Интеграл функции, описывающей нормальное распределение, в действительности нельзя точно рассчитать, но его можно получить с большой степенью точности с помощью уравнения (3.21), чего нельзя сказать о многих других распределениях

17

В некоторых случаях лучшим выбором будет именно наибольшее арифметическое математическое ожидание, а не геометрическое. Например, когда трейдер торгует постоянным количеством контрактов и желает перейти к работе «фиксированной долей» в какой-то благоприятной точке в будущем. Эта благоприятная точка — порог геометрической торговли, где арифметическая средняя сделка, которая используется в качестве входного данного, рассчитывается как арифметическое математическое ожидание (сумма результатов каждого сценария, умноженных на вероятность их появления), поделенное на сумму вероятностей всех сценариев. Так как сумма вероятностей всех сценариев обычно равна 1, мы можем говорить, что арифмети­ческая средняя сделка равна арифметическому математическому ожиданию

18

Позднее в этой главе мы увидим, что базовые инструменты идентичны колл-опционам с неограниченным сроком истечения. Поэтому, если у нас открыта длинная позиция по базовому инструменту, мы можем сказать, что проигрыш наихудшего случая является полной стоимостью инструмента. В большинстве слу­чаев проигрыш такой величины и является катастрофическим проигрышем. Корот­кая позиция по базовому инструменту аналогична короткой позиции по колл-опциону с неограниченным сроком истечения, и в такой ситуации ответственность действительно не ограничена.

19

Чаще всего только рыночные дни используются при расчете этой переменной. Число рабочих дней в году (григорианское) можно определить следующим образом: 365,2424 / 7*5= 260,8875. Из-за выходных реальное число торговых дней в году обычно состав­ляет от 250 до 252. Поэтому, если мы используем 252-дневный год и осталось 50 торговых дней до истечения срока, то доля года, выраженная десятичной дробью, т.е. Т, будет 50 / /252=0,1984126984

20

При торговле фьючерсами не требуется немедленной уплаты денежных средств за базовый актив, хотя необходимо уплатить залог. Кроме того, все прибыли и убытки реализуются немедленно, даже когда позиция не ликвидирована. Эти пункты находятся в прямом противоречии с механизмом сделок по акциям. При торговле акциями покупка требует полной и немедленной оплаты, а прибыли (или убытки) не реализуются, пока позиция не ликвидирована.

21

Тот факт, что распределение изменений волатильности логарифмически нормаль­но, не так часто принимается во внимание. Чрезвычайная чувствительность цен опционов к волатильности базового инструмента делает покупку опциона (пут-опциона или колл-опциона) еще более привлекательной в смысле математического ожидания.

22

Уравнение (5.11) не учитывает разницу между фондовыми опционами и товарными опционами. Согласно общепринятому подходу, в цену фондового опциона вклю­чается доход по простой бескупонной облигации, которая будет погашена в момент истечения срока опциона и номинал которой равен цене исполнения. Опционы на товарные фьючерсы, как считается, имеют процентную ставку 0. Мы же не учитываем это обстоятельство. Если ценная бумага и товар имеют абсолютно одинаковое распределение ожидаемых результатов, т.е. их арифметические мате­матические ожидания равны, то разумный инвестор выберет более дешевый ин­струмент. Эту ситуацию хорошо иллюстрирует пример, когда вы рассматриваете покупку одного из двух одинаковых домов, и один из них оценен выше только потому, что продавец платил более высокую процентную ставку по ипотечному кредиту

23

Распределение Стьюдента далеко не лучшая модель, описывающая распределение изме­нений цены. Однако, так как единственным параметром, кроме волатильности (годового стандартного отклонения), который необходимо рассматривать при использовании рас­пределения Стьюдента, является число степеней свободы, а ассоциированные вероят­ности легко находятся (см. приложение В), мы будем использовать распределение Стьюдента для наглядности.

24

Для получения дополнительной информации прочитайте Fama, Eugene E, «Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market», Management Science 11, pp. 404 — 419, 1965. Фама продемонстрировал параметрические методы поиска эффектив­ной границы для стабильно распределенных ценных бумаг (распределения которых обладают одинаковым характеристическим показателем А), когда прибыли компонен­тов зависят от одного индекса основного рынка. Существует и другая работа, посвя­щенная выведению эффективной границы в условиях бесконечной дисперсии прибы­лей компонентов портфеля. Эти методы не рассматриваются в данной книге, но для заинтересованных читателей есть ссылки на соответствующие статьи. О распределении Парето вы сможете узнать из приложения В. Несколько слов о бесконечной дисперсии сказано в разделе «Распределение Стьюдента» в приложении В.

25

Расчет дисперсии может оказаться довольно сложным. Более легким способом является расчет среднего абсолютного отклонения, которое следует умножить на 1,25 для полу­чения стандартного отклонения. Если возвести это значение в квадрат, мы получим оценку дисперсии.

26

Веса, при которых мы получаем портфель с минимальным V для данного Е, будут точны настолько, насколько точны значения входных данных Е и V компонентов и коэффи­циенты линейной корреляции каждой возможной пары компонентов

27

Таким образом, мы можем утверждать, что геометрический оптимальный портфель — это портфель, в котором второй множитель Лагранжа равен 0, когда сумма весов ограничена единицей, а в том случае, когда сумма весов не ограничена, первый множитель Лагранжа равен - 2. Такой портфель, при снятии ограничений на сумму весов, также будет иметь второй множитель Лагранжа, равный 0.