Лекция 7. ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ
Обычно математическую логику начинают изучать с АЛГЕБРЫ ВЫСКАЗЫВАНИЙ и вспоминают при этом Дж. Буля, отца Лилиан Войнич, написавшей роман «Овод». А сам Буль, как незакомлексованный математической эрудицией любитель, пытался придумать математику, которая бы описывала мыслительные процессы. Собственно, с его «алгебры» и ведут историю современной математической логики.
Кстати, многие математики эту алгебру не считают логикой.
Под ВЫСКАЗЫВАНИЕМ понимают повествовательное предложение, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Волга впадает в Каспийское море», «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов», «Наполеон родился в Кудымкаре». Здесь два первых высказывания истинны, а третье – ложно. Разумеется, жизнь и тут иногда создает проблемы. Так, про высказывание насчет Волги можно сказать, что оно истинное, если ЗНАТЬ этот факт из географии. Мне, например, пришлось как-то в Америке рассказывать одному бизнесмену, что далеко от США есть такая большая река – Волга… Да и про квадрат гипотенузы не все могут высказаться определенно… Но договоримся, недоучек не принимать в расчет. Или еще проще, чтобы не утонуть в несущественных для данного обсуждения мелочах, будем считать высказываниями повествовательные предложения, истинность которых может установить «высший разум».
Но этим проблема не исчерпывается. Повествовательное предложение «Я лгу» не является высказыванием, поскольку если оно истинно (то есть я действительно лгу) – значит я не лгу, а говорю правду! И наоборот… Это пример ЛОГИЧЕСКОГО ПАРАДОКСА.
Логические парадоксы не относятся к высказываниям. К высказываниям не относятся также вопросительные и восклицательные (т.е. неповествовательные) предложения и определения. Говорить об истинности или ложности определений бессмысленно. Определение есть соглашение о названии. Например, «Назовем эту музыку гимном». И все тут!…
Для того, чтобы не писать "истина" и "ложь" ("true" и "false") часто используют лишь начальные буквы этих слов. А еще чаще просто "1" и "".
А теперь вернемся к самому существенному. Логика высказываний не занимается (и даже не интересуется) СМЫСЛОМ высказываний. Так что в этом смысле логику можно считать БЕССМЫСЛИЦЕЙ! Один из логиков-классиков уподобил алгебру логики рентгену, который, просвечивая высказывание, оставляет математику для рассмотрения только его истинность.
В алгебре высказываний можно обойтись двумя-тремя операциями, хотя обычно рассматривают больше. Операцию ДИЗ'ЮНКЦИЯ называют еще "логическим или". Если два высказывания соединить диз'юнкцией, то получится сложное высказывание которое истинно, если истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний. То есть следует уточнить, что это "неисключающее или". Например, «Мы любим пиво или мы любим мороженое» истинное сложное высказывание, поскольку хотя бы одно из входящих в него элементарных высказываний истинно. А возможно, и оба. Представить же себе живое существо, которое не любит и пиво, и мороженое, не позволяет фантазия.
Операцию КОН'ЮНКЦИЯ называют еще "логическим и". Сложное высказывание будет истинно, если истинны оба входящих в него высказывания.
Операция ОТРИЦАНИЕ – "логическое не" – истинное высказывание превращает в ложное и наоборот.
Пожалуй, самая интригующая операция – это ИМПЛИКАЦИЯ или "логическое если…, то". Например, «Если Наполеон родился в Кудымкаре, то газ при нагревании сужается». Это, кстати, истинное высказывание! Нет причин считать его ложным. Единственная ситуация, когда импликация ложна, это когда посылка (часть «если») истинна, а следствие (часть «то») ложна.
Еще интереснее с точки зрения здравого смысла то, что импликацию иногда (не совсем корректно по иным причинам!) называют операцией логического следования, хотя наш пример показывает, что высказывания могут логически не следовать одно из другого, более того, могут не иметь между собой никакой логической связи. Напомним, импликация, как и другие операции, берет в расчет только истинность входящих в нее высказываний.
«Если Волга впадает в Каспийское море, то 2 + 2 = 4» истинное высказывание.
«Если Волга впадает в Каспийское море, то 2 + 2 = 5» ложное высказывание.
Хотя оба эти «логические рассуждения» с точки зрения здравого рассуждения одинаково бессмысленны.
Есть также ЛОГИЧЕСКАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ или "тогда и только тогда« (кстати, воспользовавшись»американским приемом", можно записать короче – "ттогда"). Результирующее сложное высказывание истинно, если одновременно истинны или ложны оба входящих в него высказывания.
Назовем еще одну операцию, ШТРИХ ШЕФФЕРА или логическое "и-не". Результат этой операции равносилен последовательному применению операций кон'юнкции и отрицания. Соответственно, результирующее высказывание будет ложным, только если входящие в него высказывания одновременно истинны. Штрих Шеффера – это операция замечательная тем, что ее одной (необходимое количество раз примененной) достаточно, чтобы записать любое сложное высказывание.
При использовании логики для проектирования логических схем, например отдельных фрагментов процессора, первоначально эксплуатировали аналогию с релейными схемами. Операция диз'юнкции ("или") соответствует параллельному подключению контактов реле, кон'юнкции ("и") – последовательному. Операция отрицания ("не") моделируется нормально замкнутым контактом реле. То есть контакт размыкается при срабатывании реле. Разумеется, все это реализовывалось в полупроводниковом «модульном» варианте. Тогда достаточно было выпустить, например, модули типа «и-не», чтобы на них реализовать любую схему. (А сам процессор был размером со шкаф, но не по вине логики).
Лекция 8. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
В этой алгебре об'ектами служат высказывания, о которых мы уже поговорили. Операции над высказываниями также обсудили. Осталось поговорить об их свойствах или законах, чтобы определится наконец с алгеброй.
Если использовать только три первых логических операции: диз'юнкцию, кон'юнкцию и отрицание, то алгебра высказываний аналогична алгебре множеств. Аналог диз'юнкции – об'единение, кон'юнкции – пересечение, а отрицания – дополнение. Эти аналогии можно использовать для одного из возможных об'яснений смысла логических операций (это, так называемая, теоретико-множественная интерпретация – и она достаточно «естественна»). Но мы ограничимся формальным подходом. А в связи с этим напомним, что нами были названы еще импликация, эквивалентность и штрих Шеффера, аналогов которым в теории множеств мы не стали искать.
Однако эти операции можно выразить через первые три.
Импликацию можно представить иначе, если взять диз'юнкцию отрицания первого высказывания со вторым. То есть с точки зрения формальной логики равносильны высказывания:
"ЕСЛИ стоит хорошая погода, ТО мы купаемся" и
"НЕВЕРНО, что стоит хорошая погода, ИЛИ мы купаемся".
Единственный случай, когда оба сложных высказывания ложны, это когда первое высказывание истинно, а второе ложно, то есть когда погода стоит хорошая, а мы не купаемся.
Для эквивалентности замена более длинная, но, фактически, совпадающая с определением. Например, высказывание (пусть и несколько диковатое):
"Хорошая погода стоит ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА мы купаемся" эквивалентно высказыванию "Хорошая погода И мы купаемся ИЛИ НЕхорошая погода И мы НЕ купаемся".
Кстати, эквивалентность можно было выразить и через кон'юнкцию двух импликаций:
