Но как измерить столь малые объемы? Заметьте: разница составляет всего 13 см³, что примерно равно объему пары орехов.
В истории предлагались разные методы измерения, рассмотрим два из них — измерить уровень оставшейся в сосуде воды или собрать вытесненную воду в другой сосуд. Первый вариант, по-видимому, невероятен для той эпохи и выглядит приемом, далеким от возможностей Архимеда. Согласно первому способу, после погружения короны и других металлов в сосуд вода поднимется на некоторую высоту. Если сосуд цилиндрический (см. рисунок), то и поднимающаяся вода имеет форму цилиндра. Предположим, диаметр сосуда равен 20 см, тогда поверхность воды имеет площадь 314 см². С этими данными мы можем вычислить высоту (А), на которую поднимется вода в каждом из случаев:
Объем цилиндра высчитывается умножением площади его основания на высоту.
Это означает, что разница в уровнях между короной из золота и короной из сплава составит (ho - hо = 0,4 мм), то есть меньше чем полмиллиметра! Напомним, что представленные расчеты приблизительны, но в любом случае от перемены изначальных допущений разница в результатах изменилась бы очень мало. Кроме того, допущения были сделаны таким образом, чтобы получить самые поддающиеся измерению величины. Возможно ли, чтобы Архимед смог измерить эту разницу? Вряд ли, ведь столь малая величина еще и сочетается с мениском, искривлением поверхности жидкости в сосуде из-за взаимодействия со стенками данного сосуда.
Итак, отвергнув первый вариант, некоторые ученые решили, что Архимед собирал вытесненную воду в отдельный сосуд, то есть приняли вариант Витрувия. Для этого он, вероятно, использовал водяные часы — клепсидру, то есть простой резервуар с небольшим отверстием, через которое вытекает вода. Эта гипотеза подкреплялась и тем фактом, что подобный инструмент измерения времени был широко распространен еще со времен Древнего Египта. Ведь и грек Ктесибий изобрел свои усовершенствованные водяные часы во времена Архимеда. Для использования метода клепсидры необходимо выполнить следующие шаги.
Шаг 1. Отверстие закрывается, и резервуар наполняется водой так, чтобы при опускании в него тела вода не перелилась через край.
Шаг 2. В резервуар погружается золотой слиток, по весу равный короне.
Шаг 3. Отверстие открывается, и вода вытекает через него, пока не перестанет течь.
Шаг 4. Слиток вынимается, и отверстие закрывается.
Шаг 5. В резервуар погружается корона.
Шаг 6. Отверстие открывается. Если вода вытекает из него, это значит, что корона по объему больше золотого слитка, то есть изготовлена из сплава и содержит другое вещество. Если вода доходит только до уровня отверстия, значит корона золотая.
Опытным путем доказано, что таким способом можно измерить разницу в 10 см³ — это и есть примерно тот объем, о котором идет речь. В любом случае в рассказе Витрувия ничего не говорится об использованных Архимедом средствах, а значит, у нас нет доказательств того, что он воспользовался именно таким методом. Тем не менее применение обоих упомянутых способов (замер высоты воды и клепсидра) вполне можно себе представить в эпоху Архимеда. Но любой исследователь в своей работе старается опираться на тексты самого математика, а не только на вторичные источники, как в случае с Витрувием или последующей литературой. Поэтому утверждение, что приведенные римским архитектором сведения могут быть и неверными, вовсе не означает презрения к таланту Архимеда; как раз наоборот, поскольку можно сделать предположение, что его гений пошел еще дальше. Ведь мы упоминали о его трудах, посвященных рычагу. Почему бы ему не использовать данный принцип и для решения задачи с короной? Давайте рассмотрим предположение, которое выдвигают многие специалисты. Как мы показали предыдущими расчетами, 1000 г чистого золота и корона весом 1000 г вытесняют разное по объему количество воды, а значит, разное и по массе. Мог ли Архимед измерить разницу в количестве воды в 13 г? Да, мог, но не измерением уровня воды и не методом клепсидры. Он мог бы измерить ее с помощью равноплечих весов, которые ученый применял на протяжении всей жизни.
КТЕСИБИЙ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ И КЛЕПСИДРА
Ктесибий из Александрии (285-222 до н. э.) в наше время считается отцом пневматики, так как он написал первый научный трактат о сжатом воздухе и использовании пневматических насосов. Список приписываемых ему изобретений и открытий включает в себя водяной орган, научное обоснование сифона и клепсидру: то есть он создал отличающиеся невиданной по тем временам точностью водяные часы, работа которых была основана на вытекавшей в специальное отверстие воде.
Реконструкция клепсидры конца V века до н. э. (фото: Marsyas).
В целом идея такова: если с двух сторон равноплечих весов разместить килограммовый слиток золота и килограммовую же корону, то весы, естественно, останутся в равновесии (рисунок 1).
Но если те же предметы будут при этом погружены в воду, весы больше не будут в равновесии, так как их вес в воде окажется разным (рисунок 2). Почему? Потому что согласно закону гидростатики выталкивающая сила, действующая на тело, равна весу вытесненной воды, который будет разным у двух предметов с разными объемами. То есть предмет с большим объемом (корона) в воде станет легче, чем предмет с меньшим объемом (слиток), так что весы наклонятся в сторону золотого слитка.
И такая процедура представляется вполне возможной для Архимеда, учитывая список его работ. Нужны были только жидкая среда и весы с достаточной чувствительностью, чтобы реагировать на разницу в несколько граммов, а все это в его распоряжении было. В самом деле, такие ученые, как Галилей, продемонстрировали, что данный метод работает.
РИС. 1
РИС. 2
Что и как плавает
Тело будет плавать на поверхности жидкости, если его плотность меньше плотности жидкости; станет тонуть, если его плотность выше; и останется висеть в равновесии, если их плотности равны. Это всем известное правило, впервые сформулированное Архимедом, можно продемонстрировать с помощью динамических процессов, сравнив выталкивающую силу среды и вес объекта, помещенного в нее. Если читатель в какой-то момент запутается, он может просто пропустить следующие строки, написанные только для того, чтобы изложить идеи Архимеда современным языком.
ВОДЯНОЙ ГИГАНТ
С водой связана интересная аномалия, из-за которой, собственно, и возможно существование океанов и в целом жизнь на Земле: в твердом состоянии ее плотность меньше, чем в жидком. Это значит, что лед может плавать на поверхности воды. Так происходит, к примеру, с айсбергами. Слово «айсберг» пришло из голландского языка через английский и означает «ледяная гора». Речь идет о гигантских кусках замерзшей пресной воды, дрейфующих в океане и постепенно опускающихся к низким широтам, куда их влекут течения. Значительная часть айсберга погружена в воду. При этом вес айсберга (Р) равен выталкивающей силе воды (Е), в которую он погружен и которая равна весу воды, вытесненной погруженной частью айсберга. Объем этой воды обозначим как (Vs).
Сила Объем Плотность Формула Выталкивающая сила: Е Объем погруженной части: Vs Морской воды: da E=Vs • da • g Вес айсберга: Р Объем всего айсберга: Vc Льда: dl P=Vc • dl • g
Действующая на айсберг выталкивающая сила равна Е = Vs • da • g, где da — плотность соленой воды. С другой стороны, вес всего айсберга равен P=Vc • dl • g, где dl — плотность айсберга, a Vc — объем всего айсберга. Чтобы узнать соотношение видимой и подводной частей айсберга, достаточно вычислить отношение Vs/Vc. Нужно просто разделить выталкивающую силу на вес, учитывая, что они равны (Е = Р), так как айсберг находится в равновесии.
Надо отметить, что соотношение между погруженной частью айсберга и всем его объемом будет равно соотношению плотности айсберга и плотности воды, в которой он плавает. Плотность айсберга (то есть пресной воды в твердом состоянии) равна 0,92 г/см³, а плотность морской воды может различаться (зависит от ее температуры и степени солености), так что возьмем ее среднее значение: 1,03 г/см³.
