Рассмотрим Солнце и планету (рис. 13) и вообразим себе, что в определенный момент времени планета находится в положении 1. Она движется так, что через секунду, скажем, очутится в положении 2. Если бы Солнце не действовало на планету, то, согласно галилееву принципу инерции, планета продолжала бы двигаться по прямой. Тогда по истечении такого же промежутка времени, следующей секунды, двигаясь по прямой линии и пройдя такое же расстояние, планета очутилась бы в положении 3. Сначала мы докажем, что в равные промежутки времени описываются равные площади, если силы нет. Напомню, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, а высота - это расстояние по вертикали от вершины до основания треугольника. Если треугольник - тупоугольный (рис. 14), то высота -AD, а основание - ВС. Теперь сравним площади, которые описывались бы при движении планеты, если бы Солнце на нее не действовало (рис. 13).
Вы помните, что два расстояния 1-2 и 2-3 равны. Вопрос в том, равны ли две площади. Рассмотрим треугольник, образованный Солнцем (S) и двумя точками 1 и 2. Какова его площадь? Она равна основанию 1-2, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного на основание из точки S. Теперь - другой треугольник, образованный точками 2, 3 и S. Его площадь равна основанию 2-3, умноженному на половину перпендикуляра, опущенного из точки S. У этих двух треугольников одна и та же высота и, как я уже сказал, равные основания. Поэтому они имеют одинаковую площадь. Пока все идет прекрасно. Если бы со стороны Солнца не действовало никаких сил, то за равные промежутки времени описывались бы равные площади. Но Солнце действует на планету. На отрезке 1-2-3 Солнце притягивает планету, причем направление силы притяжения постепенно меняется. Чтобы получить хорошее приближение, возьмем среднее положение 2 и скажем, что весь эффект притяжения на отрезке 1-3 сводится к отклонению планеты на некоторое расстояние в направлении линии 2- S (рис. 15).
Это означает, что тело двигалось по линии 1-2 и продолжало бы двигаться по ней, если бы не было силы, но притяжение Солнца заставляет тело двигаться по линии 2-S. Таким образом, движение тела на следующем отрезке складывается из того, как планета двигалась бы самостоятельно, и изменения, которое произошло под действием Солнца. Поэтому планета попадает не в положение 3, а в положение 4.
Теперь мы сравним площади треугольников 23S и 24S и докажем, что они равны. У них общее основание S-2. Одинаковы ли у них высоты? Да, потому что треугольники заключены между параллельными линиями. Расстояние от точки 4 до линии 5-2 равно расстоянию от точки 3 до линии 5-2 (продолженной). Значит, площадь у треугольника S24 такая же, как у S23. Раньше я доказал, что треугольники S12 и S23 равны по площади. Отсюда ясно, что S12=S24. Таким образом, при движении планеты по орбите площади, описываемые за первую и за вторую секунду, равны. Значит, путем рассуждений мы нашли связь между тем фактом, что сила направлена к Солнцу, и тем фактом, что площади равны. Не правда ли, остроумно? Я позаимствовал вывод прямо у Ньютона. Все это содержится в его "Principia": и схема, и доказательство. Только цифры другие, потому что он пользовался римскими цифрами, а я - арабскими.
Все доказательства в книге Ньютона были геометрическими. Сегодня мы строим доказательства по-другому. Мы доказываем аналитически, при помощи символов. Чтобы построить нужные треугольники, подметить равенство площадей, требуется изобретательность. Теперь мы имеем усовершенствованные методы анализа, более быстрые и эффективные. Я хочу показать вам, как это выглядит в обозначениях более современной математики, где для доказательства нужно лишь записать несколько символов.
Мы будем говорить о быстроте изменения площади и обозначим эту величину через А'. При повороте радиуса площадь изменяется, и быстрота ее изменения - это составляющая скорости, перпендикулярная радиусу, умноженная на радиус. Иначе говоря, это расстояние по радиусу, умноженное на скорость, т. е. на быстроту изменения расстояния:
A = r x r'
Спросим себя: изменяется ли сама скорость изменения площади? Закон Кеплера говорит, что скорость изменения площади не должна меняться. Поэтому мы дифференцируем написанное равенство, а тут весь фокус в том, чтобы поставить точки в нужных местах - и ничего больше. Таким фокусам надо научиться: это просто набор правил, которые были придуманы, чтобы облегчить доказательства. Мы пишем
A'' = r' x r' + r x r'' = r x F/m.
Первое слагаемое - это составляющая скорости, перпендикулярная самой скорости. Оно равно нулю - скорость направлена вдоль самой себя. Ускорение r'' - это вторая производная r, т.е. производная скорости. Она равна силе, деленной на массу.
Это означает, что скорость изменения скорости изменения площади есть составляющая силы, направленная под прямым углом к радиусу. Но если сила направлена по радиусу,
r x F / m = 0
как утверждал Ньютон, то под прямым углом к радиусу она не действует, а значит, скорость изменения площади не изменяется:
A'' = 0.
Мы видим, как много нам дает анализ при помощи символов. Ньютон более или менее умел это делать, только в несколько других обозначениях. Но он предпочел геометрические доказательства, стремясь к тому, чтобы люди могли прочесть его статьи. Он сам изобрел исчисление бесконечно малых, которым я воспользовался во втором доказательстве.
Это хорошая иллюстрация взаимоотношений между математикой и физикой. Когда в физике проблема оказывается трудной, мы можем заглянуть к математикам - вдруг они уже встречались с такими вопросами и имеют готовые способы доказательства? Но может оказаться, что они этим еще не занимались. Тогда нам придется самим изобрести доказательства и потом передать их математикам.
Каждый кто рассуждает о чем-нибудь точно, показывает тем самым, как человек мыслит, и если представить его рассуждения в общем виде и передать математикам, то они внесут его в свои книги в качестве раздела математики. Математика - это путь, по которому мы переходим от одной совокупности утверждений к другой. И она, очевидно, полезна в физике, потому что говорить о вещах мы можем по-разному, а математика позволяет нам выяснить следствия, анализировать ситуации и видоизменять законы, чтобы связать различные утверждения. В общем физик знает очень мало. Он только должен помнить правила, которые позволяют переходить от одного к другому, ибо все эти различные утверждения о равенстве интервалов времени, о силе, направленной по радиусу, и т.д. тесно связаны логикой.
Тут возникает интересный вопрос. Существует ли какая-нибудь отправная точка для всех наших выводов? Существует ли в природе такой порядок, который позволял бы нам говорить, что одна совокупность утверждений - более фундаментальная, а другая представляет собой ее следствие?
Возможны два взгляда на математику. Для удобства один из них я назову вавилонской традицией, а другой - греческой традицией.
В вавилонских школах математики ученик решал огромное множество примеров, пока не улавливал общего правила. Он подробно знал геометрию, множество свойств круга, теорему Пифагора, формулы для площадей квадратов и треугольников; кроме того, существовали некоторые способы выводить одно из другого. Имелись числовые таблицы, при помощи которых можно было решать сложные уравнения. Все было подготовлено для того, чтобы производить вычисления. Но Евклид обнаружил, что все теоремы геометрии можно вывести из нескольких простых аксиом.
Вавилонский подход - я назвал бы его вавилонской математикой - заключается в том, что вы знаете самые разные теоремы, многие связи между ними, но не осознаете до конца, что все они могут быть выведены из набора аксиом. Самая же современная математика делает упор на аксиому и доказательства, исходя из очень четких соглашений о том, что можно и что нельзя считать аксиомами. Современная геометрия берет аксиомы, подобные евклидовым, но несколько усовершенствованные, и выводит из них все остальное. Например, такие теоремы, как теорема Пифагора (сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы), не будут аксиомами. Но возможно и другое построение геометрии - так, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.
