Зенон родился около 490 года до н. э., в начале Греко-персидских войн — великого конфликта между Востоком и Западом. Греки победили персов, однако греческая философия так и не смогла победить Зенона, потому что Зенон придумал парадокс, логическую загадку, которая для греческих философов представлялась неразрешимой. Для греков это был аргумент, вызывающий сильнейшее беспокойство: Зенон доказал невозможное.
Согласно Зенону, никакое движение во Вселенной невозможно[8]. Конечно, это глупое утверждение: любой человек может опровергнуть его, пройдясь по комнате. Хотя всем было ясно, что утверждение Зенона неверно, никто не мог найти ошибки в его рассуждениях. Парадоксы — логические загадки — Зенона ставили в тупик как греческих философов, так и тех, кто пришел после них; они озадачивали математиков почти две тысячи лет.
В своей самой знаменитой загадке — «Ахиллесе» — Зенон доказывает, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит неуклюжую черепаху, если она имела преимущество на старте. Чтобы представить это более конкретно, придадим проблеме числовые значения. Предположим, что Ахиллес пробегает один фут в секунду, в то время как черепаха движется со скоростью в два раза меньшей. Предположим также, что черепаха изначально опережала Ахиллеса на один фут.
Ахиллес бежит вперед и за одну секунду достигает того места, где была черепаха. Однако за то время, что он добирается до этой точки, черепаха, которая тоже движется, проходит полфута. Неважно, Ахиллес ведь бежит быстрее, и за полсекунды он покрывает эти полфута. Однако опять же и черепаха за это время продвинулась вперед — на этот раз на четверть фута. Мгновенно — за четверть секунды — Ахиллес преодолевает и это расстояние. Но черепаха за четверть секунды проковыляла еще одну восьмую фута. Ахиллес бежит и бежит, но черепаха каждый раз перемещается вперед; как бы Ахиллес ни приблизился к черепахе, к тому времени, когда он достигает точки, где она только что была, черепаха проходит еще какое-то расстояние. Восьмую часть фута, шестнадцатую часть фута, тридцать вторую часть фута… все меньшее и меньшее расстояние, но все равно Ахиллес никак не может ее догнать. Черепаха всегда его опережает (рис. 10).
Рис. 10. Ахиллес и черепаха
Всем известно, что в реальном мире Ахиллес быстро пробежал бы мимо черепахи, однако рассуждения Зенона как будто доказывали, что он никогда ее не догонит. Философы — современники Зенона — не могли разрешить этот парадокс. Даже зная, что вывод неверен, они никак не могли найти ошибки в математическом доказательстве Зенона. Главным оружием философов была логика, но логическая дедукция представлялась бесполезной против доводов Зенона. Каждый шаг выглядел безупречным, но если все шаги правильны, как вывод может быть неверным?
Проблема поставила греков в тупик, однако они обнаружили источник неприятностей: это была бесконечность. В сердцевине парадокса Зенона кроется именно она: Зенон взял непрерывное движение и разделил его на бесконечное число крошечных шагов. Поскольку число шагов было бесконечным, греки сочли, что гонка будет длиться вечно, несмотря на то, что шаги становились все меньше и меньше. Гонка никогда не закончится в конечный отрезок времени — или так они думали. Древние не имели инструментария для того, чтобы справиться с бесконечностью, однако современные математики научились управляться с нею. Подходить к бесконечности нужно очень осторожно, но все же с ней можно совладать — с помощью ноля. Вооружившись математическими знаниями, полученными за две тысячи четыреста лет, нам нетрудно вернуться и найти ахиллесову пяту Зенона.
У греков не было ноля, но у нас он есть, и в нем заключается ключ к разрешению загадки Зенона. Иногда возможно объединить бесконечные элементы и получить конечный результат, но для этого слагаемые элементы должны стремиться к нолю[9]. Так и обстоит дело с Ахиллесом и черепахой. Когда вы складываете расстояния, которые пробегает Ахиллес, вы начинаете с числа 1, потом прибавляете 1/2 , потом 1/4 , потом 1/8 и так далее; элементы становятся все меньше и меньше, все больше приближаясь к нолю; каждый элемент есть шаг в путешествии, пунктом назначения которого является ноль. Впрочем, поскольку у греков не было ноля, они не могли понять, что это путешествие когда-нибудь кончится. Для них числа 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 и так далее не вели к чему-то: пункт назначения не существовал. Вместо этого греки видели просто элементы, становившиеся все меньше и меньше, выходившие за пределы области чисел.
Современные математики знают, что эти элементы имеют предел: последовательность чисел 1, 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 и так далее приближается к нолю как к своему пределу, и путешествие имеет пункт назначения. Как только это признано, легко поинтересоваться, как далеко отстоит пункт назначения и сколько времени потребуется, чтобы до него добраться. Не так уж трудно сложить расстояния, которые пробегает Ахиллес: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…+ 1/2n +… Шаги, которые делает Ахиллес, становятся все меньше и меньше, все ближе и ближе к нолю, а сумма этих шагов оказывается все ближе и ближе к двум. Откуда мы это знаем? Что ж, начнем с двух и будем вычитать по одному элементы суммы. Начнем с 2 — 1, что дает, конечно, 1. Затем вычтем 1/2 ; останется 1/2 . Затем вычтем следующий элемент — 1/4 ; останется 1/4 … Мы вернулись к знакомой последовательности. Мы уже знаем, что ее предел — ноль; таким образом, по мере того, как мы вычитаем один за другим элементы из двух, не остается ничего. Предел суммы 1 + 1/2+ 1/4 + 1/8 + 1/16 +… равен 2 (рис. 11). Ахиллес пробежит 2 фута, чтобы догнать черепаху, хоть и сделает для этого бесконечное число шагов. Более того, посмотрим, сколько времени потребуется Ахиллесу, чтобы догнать черепаху: 1 + 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 +… — 2 секунды. Ахиллес не только совершает бесконечное число шагов, чтобы пробежать конечное расстояние, но и тратит на это всего 2 секунды.
Греки не могли проделать этот ловкий математический трюк. У них не было понятия предела, потому что они не верили в ноль. Элементы бесконечной последовательности не имели предела, или пункта назначения; считалось, что они делаются меньше и меньше без какого-то определенного конца. В результате греки не могли справиться с бесконечностью. Они размышляли над концепцией пустоты, но отвергали ноль как число; они заигрывали с понятием бесконечности, но отказывались признать существование чисел, которые бесконечно малы или бесконечно велики. Это было величайшим недочетом греческой математики, и это было единственным, что помешало им открыть дифференциальное и интегральное исчисление.
Рис. 11. 1 + 1/2 + 1/4+ 1/8 + 1/16 +… = 2
Бесконечность, ноль и концепция предела связаны друг с другом. Греческие философы были не в силах распутать этот узел, поэтому не имели способа разрешить загадку Зенона. Однако парадокс Зенона был настолько важен, что греки снова и снова пытались объяснить содержащуюся в нем бесконечность. Они были обречены на неудачу, не имея нужных концепций.
Зенон сам не знал разрешения своего парадокса, да и не искал его. Парадокс полностью удовлетворял его философии. Зенон был членом элеатской школы, основатель которой, Парменид, утверждал, что подлинная Вселенная неизменна и неподвижна. Парадоксы Зенона служили подтверждением доводов Парменида. Показывая, что изменение и движение внутренне противоречивы, он рассчитывал убедить людей в том, что позади каждой изменяющейся вещи стоит нечто целостное и неизменное. Зенон и в самом деле верил в невозможность движения, и его парадокс был главной опорой этой теории.
Существовали и другие направления мысли. Атомисты, например, верили в то, что Вселенная состоит из маленьких частиц, именуемых атомами, неделимых и вечных. Движение, согласно взглядам атомистов, было движением этих маленьких частиц. Конечно, чтобы атомы могли двигаться, должно было существовать пустое пространство, куда они могли бы переместиться. В конце концов, крошечные атомы должны были как-то двигаться: не будь такой вещи, как вакуум, атомы оказались бы неизменно спрессованы друг с другом. Все замерло бы в одном положении навсегда, неспособное сдвинуться с места. Таким образом, атомистическая теория требовала, чтобы Вселенная была полна пустоты — бесконечной пустоты. Атомисты признавали концепцию бесконечного вакуума — бесконечность и ноль оказывались связаны воедино. Это было шокирующее заключение, однако неделимые частицы материи, провозглашенные атомистической теорией, позволяли обойти парадоксы Зенона. Поскольку атомы неделимы, существует точка, дальше которой деление невозможно. Уменьшение шагов, предполагавшееся Зеноном, не могло продолжаться до бесконечности. Через какое-то время Ахиллес стал бы делать шаги, которые уже не могли уменьшиться; в конце концов они достигли бы величины атома, преодолеть часть которой черепаха не может. Ахиллес наконец догнал бы неуловимую черепаху.
