Теория типов вносит осложнение и в понятие наименьшей верхней границы ограниченного множества вещественных чисел (гл. IX). Наименьшая верхняя граница, по определению, есть минимальная из всех верхних границ. Мы видим, что в определении наименьшей верхней границы фигурирует множество вещественных чисел, и поэтому наименьшая верхняя граница должна принадлежать к более высокому типу, чем вещественные числа, а значит, сама она вещественным числом не является.
Чтобы избежать подобных осложнений, Рассел и Уайтхед ввели весьма тонкую аксиому сводимости (или аксиому редукции). Аксиома сводимости для высказываний гласит: любое высказывание более высокого типа эквивалентно одному из высказываний первого типа. Аксиома сводимости для пропозициональных функций утверждает, что любая функция одного переменного или двух переменных эквивалентна некоторой функции типа 1 от того же числа переменных, к какому бы типу ни принадлежали переменные. Аксиома сводимости была необходима Расселу и Уайтхеду и для обоснования используемой в их «Основаниях математики» математической индукции.
Рассмотрев пропозициональные функции, авторы переходят к теории отношений. Отношения представимы с помощью пропозициональных функций двух или большего числа переменных. Так, пропозициональная функция «x любит y» выражает отношение. После теории отношений Рассел и Уайтхед излагают явную теорию классов, или множеств, определяемых с помощью пропозициональных функций. Теперь уже все готово к введению понятия натурального (целого положительного) числа.
Определение натурального числа представляет значительный интерес. Оно зависит от введенного ранее отношения взаимно-однозначного соответствия между классами. Два класса называются эквивалентными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Все эквивалентные классы обладают одним общим свойством — числом, отвечающим этим классам (т.е. числом их элементов). Но возможно, что эквивалентные классы обладают и более чем одним общим свойством. Рассел и Уайтхед обошли эту трудность так же, как Фреге, — определив отвечающее классу число как класс всех классов, эквивалентных данному классу. Например, число 3 — это класс всех классов, содержащих по 3 элемента. Все такие классы обозначаются символом {x, у, z}, где x ≠ y ≠ z. Поскольку определение числа предполагает понятие взаимно-однозначного соответствия (обратите внимание на выражение «однозначное»!), может показаться, что здесь мы попадаем в порочный круг. Но отношение между элементами является взаимно-однозначным, если из того, что x и x' находятся в рассматриваемом отношении к y, следует, что, x и x' совпадают, а из того, что x находится в этом отношении и к у, и к у', вытекает, что совпадают y и у'. Следовательно, несмотря на употребленное в названии этого понятия выражение, реально взаимно-однозначное соответствие не определяется без апелляции к числу 1.
Имея натуральные числа, можно построить системы вещественных и комплексных чисел, теорию функций и весь математический анализ. Используя координаты и уравнения кривых, можно через арифметику ввести геометрию. Но для этого Расселу и Уайтхеду понадобились две дополнительные аксиомы. Программа состояла в том, чтобы сначала определить (с помощью пропозициональных функций) натуральные числа, а затем последовательно ввести более сложные рациональные и иррациональные числа. Чтобы включить в эту схему трансфинитные числа, Рассел и Уайтхед ввели аксиому существования бесконечных классов (классов, надлежащим образом определенных с точки зрения логики) и аксиому выбора (гл. IX), необходимую для теории типов.
Такова была грандиозная программа логистической школы. Долго рассказывать о том, что значила эта программа для самой логики, — мы ограничимся здесь лишь беглым перечислением основных пунктов программы. Для математики же (и это необходимо подчеркнуть особо) логистическая программа сводилась к тезису о построении (или возможности построения) всей математической науки на фундаменте логики. Математика становилась не более чем естественным продолжением логических законов и предмета логики.
Логистический подход к математике подвергся резкой критике. Сильные возражения вызвала аксиома сводимости, которая многим математикам казалась совершенно произвольной. Некоторые считали ее счастливой случайностью, а не логической необходимостью. Френк Пламптон Рамсей, сочувственно относившийся к логицизму, так охарактеризовал аксиому сводимости: «Такой аксиоме не место в математике, и все, что не может быть доказано без нее, вообще не должно считаться доказанным». Другие ученые называли аксиому сводимости «жертвоприношением, в котором роль жертвы отведена разуму». Безоговорочно отвергал аксиому сводимости Герман Вейль. Иные критики утверждали, что она снова вводит в обращение непредикативные определения. Наиболее важными были вопросы о том, является ли аксиома сводимости аксиомой логики и, следовательно, подкрепляет ли она тезис о том, что математика выводима из логики.
Пуанкаре заявил в 1909 г., что аксиома сводимости более спорна и менее ясна, чем доказываемый с ее помощью принцип математической индукции. Аксиома сводимости, по его словам, представляет собой замаскированную форму математической индукции. Итак, с одной стороны, математическая индукция — это составная часть математики, а с другой стороны, она оказывается необходимой для обоснования математики. Следовательно, мы не можем доказать непротиворечивость математики.
В первом издании «Оснований математики» (1910) Рассел и Уайтхед обосновывали аксиому сводимости ссылкой на то, что она необходима для доказательства некоторых результатов. Аксиома их явно беспокоила. В защиту ее они приводили следующие доводы:
Что же касается аксиомы сводимости, то она убедительно подкрепляется интуитивными соображениями, так как и допускаемые ею рассуждения, и результаты, к которым она приводит, во всяком случае выглядят правильными. Но хотя маловероятно, чтобы эта аксиома оказалась ложной, она вполне может оказаться выводимой из некоторых других, более фундаментальных и более очевидных аксиом.
В последующие годы применение аксиомы сводимости вызывало у Рассела все большую озабоченность. Во «Введении в математическую философию» (1919) Рассел был вынужден признать:
С чисто логической точки зрения я не вижу оснований считать аксиому сводимости необходимой, т.е. тем, о чем принято говорить, что оно истинно во всех возможных мирах. Следовательно, включение этой аксиомы в систему логики является дефектом, даже если аксиома эмпирически правильна.
Во втором издании «Оснований математики» (1926) Рассел сформулировал аксиому сводимости иначе. Но и в новой формулировке она порождала немало трудностей: запрет на бесконечности высоких порядков, вынужденный отказ от теоремы о наименьшей верхней границе, трудности при использовании математической индукции. Во втором издании «Оснований математики» Рассел так же, как и в первом, выразил надежду вывести аксиому сводимости из более наглядных аксиом и снова назвал ее логическим дефектом. По словам авторов «Оснований математики», «эта аксиома имеет чисто прагматическое обоснование. Она приводит к желаемым и ни к каким другим результатам. В то же время ясно, что она не принадлежит к такого рода аксиомам, на которые можно спокойно положиться». Рассел и Уайтхед понимали, что ссылка на правильность выводов, получаемых с помощью аксиомы сводимости, не является убедительным аргументом. Были предприняты различные попытки свести математику к логике без столь спорной аксиомы, но никому в этом отношении не удалось продвинуться сколько-нибудь далеко, а некоторые попытки подверглись суровой критике, так как они основывались на неверных доказательствах.
Другое направление в критике логистической школы было связано с аксиомой бесконечности. По общему убеждению, структура всей арифметики существенно зависела от этой аксиомы, в то время как не было ни малейших оснований считать ее истинной и, что еще хуже, не было способа, позволившего бы установить, истинна ли она или нет. Оставался открытым и вопрос о том, является ли эта аксиома аксиомой логики.
Справедливости ради заметим, что Рассел и Уайтхед испытывали сомнения относительно того, включать или не включать аксиому бесконечности в число аксиом логики. Их беспокоило, что содержание аксиомы выглядит «фактообразно». Сомнения возникали не только по поводу принадлежности аксиомы к логике, но и относительно ее истинности. Согласно одной из интерпретаций термина «индивидуум», предложенной Расселом и Уайтхедом, под «индивидуумами» понимались мельчайшие частицы, или элементы, составляющие Вселенную. Создавалось впечатление, что, хотя аксиома бесконечности сформулирована на языке логики, она по существу сводится к вопросу о том, конечно или бесконечно число мельчайших частиц во Вселенной, т.е. к вопросу, ответ на который может дать только физика, но никак не математика и не логика. Но если мы хотим рассматривать бесконечные множества или показать, что математические теоремы, при выводе которых была использована аксиома бесконечности, принадлежат к числу теорем логики, то нам, по-видимому, не остается ничего другого, как считать аксиому бесконечности аксиомой логики. Короче говоря, если мы хотим «свести» математику к логике, то логика, очевидно, должна включать в себя аксиому бесконечности.
