— 356 —
— Кажется, догадываюсь… Я думаю, что с помощью радиуса-вектора, зная его начало, то есть полюс всего этого построения, и зная угол, под которым радиус-вектор находится по отношению к полярной оси, и его длину, можно определить любую точку на плоскости. Вот и выходит, что это координаты!
— Правильно, — подтвердил Радикс, — теперь слушай дальше. Построим с тобой касательную к спирали в заданной точке, причем будем учитывать направление движения спирали, то есть либо от полярной осп против часовой стрелки, либо обратно. Первое из этих направлений мы будем считать положительным…
— Постой! — прервал его Илюша. — Например, граммофонная пластинка вращается по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, а если бы мы поместили наш радиус-вектор в самую середину пластинки да еще заставили бы его обегать пластинку, начиная не с края, как обычно делается, а с серединки (где полагается находиться полюсу полярных координат), то он бы вращался в положительном направлении… Только всю музыку он сыграл бы сзади наперед! Но ведь нам сейчас это неважно. Так я говорю?
— Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат — перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется «нормалью») и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON — полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали,
— 357 —
подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой. Так, для параболы этот закон особенно прост: если изобразить параболу в обычных декартовых координатах, но положить ее «набок», так, чтобы ось абсцисс была ее осью (см. чертеж на стр. 245{12} в Схолии Тринадцатой), то в таком случае поднормаль параболы (длина поднормали) есть величина постоянная. Когда надо найти поднормаль у параболы, мы проводим к ней касательную в данной точке и строим нормаль в той же точке (перпендикуляр к касательной); затем из нашей точки опускаем перпендикуляр на ось параболы (а поскольку парабола у нас лежит «на боку», то ее ось совпадает с осью абсцисс; что же до вершины параболы, то мы — можем ее поместить в самое начало координат). Теперь отрезок оси абсцисс, лежащий между концом этого перпендикуляра и пересечением нормали с осью абсцисс — и есть искомая поднормаль. Для параболы поднормаль есть величина постоянная (ты на досуге сделай чертежик и посмотри!). Подкасательная есть тоже отрезок на оси абсцисс от того же конца перпендикуляра до пересечения касательной с осью абсцисс. Отсюда ясно, как много значат при изучении кривых касательная и все с ней связанное, ибо через нее мы получаем для кривых очень важные, точно определяющие их характеристики. Архимед, анализируя свою спираль, нашел и доказал, что и для этой кривой полярная поднормаль постоянна. Вот это было одно из замечательных открытий Архимеда. Ясно?
— Что-то я плохо понимаю, как это «постоянная»? Всегда одна и та же?
— Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом φ: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это ее важное свойство подобно свойствам, определяющим «геометрическое место».
— И так будет в любой точке спирали?
— Разумеется! В этом-то и вся сила, что в любой. Это основной закон Архимедовой спирали. Напишем уравнение спирали в полярных координатах так, как мы писали в Схолии Двенадцатой уравнение кривых в декартовых координатах. Мы уже знаем, что длина радиуса-вектора в данном случае прямо пропорциональна углу, на который повернулся этот
— 358 —
вектор. Разумеется, когда вектор пройдет целый круг, то следующий круг мы начнем считать от 360°, это будет 361° (или в радианах 2π, а затем 2π + π/180 и так далее). Назовем радиус-вектор буквой r, а угол буквой φ и напишем уравнение:
r = αφ.
Это и будет самое простое уравнение спирали в полярных координатах. Чем больше угол, тем длиннее и радиус-вектор.
Пропорциональность может быть различной, поэтому в уравнении имеется коэффициент (или параметр) α.
— А что такое параметр?
— Параметр представляет собой определяющий коэффициент, характеризующий кривую. Так, например, угловой коэффициент прямой есть ее важнейший параметр.
В данном случае для нашей спирали α и есть постоянная поднормаль (или субнормаль) Архимедовой спирали. Чем он больше, тем шире и разворот спирали. Чем он меньше, тем ближе один к другому ложатся витки спирали. Он либо раздвигает, либо сдвигает спираль. Например, когда ты заводишь часы с пружиной, то она сжимается. Полагая, что пружина в плане близка к Архимедовой спирали, ты, заводя часы, уменьшаешь ее параметр а.
— Как будто что-то я начинаю соображать, — сказал Илюша. — Это немного похоже на то, если изменять угол конуса при вершине. Конус, конечно, станет другой.
— В этом роде. А теперь мы уже подходим к концу нашего рассказа. После того как Архимед установил это замечательное свойство спирали, он нашел еще и выражение ее полярной подкасательной (субтангенса). Если уравнение спирали таково, как мы написали, то в современных обозначениях полярная подкасательная спирали будет равна rφ. Теперь если у нас некоторый угол φ1 будет равен 2π…
— То есть если радиус-вектор обойдет целый круг?
— Именно! Тогда соответствующий этому углу радиус-вектор по нашему уравнению будет равен: r1 = 2πα, а его подкасательная по ее уравнению, которое мы только что записали, будет:
4π2а = 2πr1 ,
то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский. Средневековые математики не разобра-
— 359 —
лись в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда — Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что «по-видимому» сама геометрия — наука «неточная»! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа π: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, — 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда — 3,14… Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.
— Как интересно! — воскликнул Илюша. — Это напоминает случай с диагональю квадрата: построить — одна минута, а вычислить невозможно. Только со спиралью гораздо сложнее…
— Это верно. Но надо еще принять во внимание, что это не простое геометрическое построение, а такое, в которое входит «механическая кривая», для которой движение есть очень важный элемент. Многие древнегреческие математики были из-за этого не совсем довольны построением Архимеда, хотя это самый настоящий шедевр математической изобретательности и остроумия. Однако разобрать весь ход рассуждений Архимеда, понять все его доказательства — дело не такое простое, как мой коротенький рассказ. Уникурсал Уникурсалыч тебе объяснил, как ты должен поступить. Ты понял?
— Почти… Я буду стараться…[26]
— Стоит постараться, уверяю тебя. Это замечательное сочинение Архимеда оказало огромную помощь европейским ученым, когда они начали строить высший математический анализ.
— А почему ты вспоминал про веретена и про центры тяжести?
— Центры тяжести различных тел тоже вычисляются путем интегрирования. Что же касается веретена, то это веретено Торичелли…
— Это тот самый, чья «торичеллиева пустота»?
— Тот самый. И его веретено — тело вращения, которое получается вращением кривой обратных величин вокруг оси игреков. Это было очень интересным и неожиданным открытием. Оно было сделано в одно и то же время Торичелли и замечательным математиком Бонавентурои Кавальери, чье имя тебе тоже должно быть известно. Дело в том, что вершина этого
