Алгоритм PERT
Рассмотрим применение метода PERT на примере проекта, показанного на рис. 10.31. Внутри изображения каждой работы буквой обозначено ее название, а в скобках указана трехсторонняя оценка ее продолжительности в днях. Алгоритм расчетов следующий:
1. Определение средних продолжительностей и дисперсий работ проекта.
2. Определение критического пути.
3. Нахождение средней продолжительности и дисперсии всего проекта.
4. Анализ сроков выполнения проекта.
Рис. 10.31. Пример проекта с экспертной оценкой продолжительностей работ
Результаты применения формул расчета средних длительностей и дисперсий работ указаны в табл. 10.4.
Таблица 10.4
Расчеты средних продолжительностей и дисперсий для работ
Применяем МКП к исходному проекту, продолжительности работ которого заданы средними значениями (рис. 10.32).
Рис. 10.32. Проект, к которому применяется МКП
В приведенном проекте всего 3 пути: A-D-E, B-D-E, C-E. Самым длинным из них (критическим) является путь B-D-E – 16,17 дн. Это и будет средняя продолжительность проекта. Дисперсия этого пути равна 0,47 (0,11 + 0,25 + 0,11). Извлекая квадратный корень из полученной дисперсии, вычислим среднеквадратическое отклонение, оно равно 0,69. Пусть вас не смущают сотые части дня в подобных расчетах, так как это всего лишь данные, характеризующие распределение случайной величины продолжительности проекта, которые на практике никогда не достигаются. В подобных расчетах следует вычислять средние значения и дисперсию с высокой точностью, записывая больше знаков после запятой.
Итак, в результате расчетов мы получили: µ = 16,17; σ = 0,69. Диапазон 3σ составляет всего 2 дня, поэтому, не производя вычислений, можно сказать, что выполнение проекта наверняка уложится в 18 дней и вряд ли будет меньше 14 дней.
Особенности и ограничения PERT
Необходимо отметить, что на самом деле к рассмотренному проекту применять метод PERT не следует, так как у него недостаточное число критических работ (для применения центральной предельной теоремы). В этом случае нельзя утверждать, что продолжительность проекта будет распределена по нормальному закону, поэтому наши выводы о вероятности выполнения проекта в установленные сроки могут оказаться неверными.
Есть еще одна неточность, которую мы допустили в ходе расчетов. Она заключается в допущении того, что случайная величина продолжительности проекта – сумма случайных величин его критического пути. Во-первых, критических путей может быть несколько, и тогда не совсем понятно, какую дисперсию следует брать. Во-вторых, работа, которая не лежит на критическом пути (например, работа А), вполне может оказаться критической, изменив весь критический путь. Другими словами, критический путь проекта с неопределенной длительностью работ заранее не известен. Поэтому выбор только одного критического пути приводит к погрешностям вычислений.
Установлен факт, что средняя продолжительность проекта, которую определяет PERT, систематически недооценивается. Другими словами, PERT дает слишком оптимистичные оценки завершения проекта. Приведем пример, который иллюстрирует эту проблему.
Допустим, что проект состоит из независимых параллельных работ, продолжительность которых – величина случайная, равномерно распределенная на отрезке [0, 2]. В этом случае математическое ожидание продолжительности всего проекта равно 1 при любом количестве исходных работ. Но вот вероятность того, что продолжительность проекта будет меньше единицы, стремится к нулю, при стремлении количества исходных работ в бесконечность.
Этот пример показывает, что чем больше параллельно идущих работ в проекте, тем более PERT занижает среднюю продолжительность проекта.
Ошибки PERT привели к дальнейшим исследованиям, направленным на определение параметров случайной величины продолжительности проекта. Можно выделить работы Салаха Элмаграби [Elmaghraby, 1970], который показал, как для некоторого класса сетевых моделей (последовательно-параллельных) можно аналитически найти функцию распределения случайной величины продолжительности проекта. Однако итоговая формула оказывается очень сложной с точки зрения вычислений и поэтому не применяется на практике.
Другой способ преодоления ошибок PERT связан с моделированием реализации проекта. Имея трехстороннюю оценку продолжительности работ проекта, можно восстановить конкретный вид бета-распределения случайной величины. Далее на компьютере определим продолжительность данной работы, сгенерировав случайное число, подчиненное этому распределению. Проделав такую операцию для каждой работы проекта, мы получим проект, работы которого имеют определенную продолжительность, и ее можно вычислить, например, с помощью МКП. После этого повторим всю процедуру определения продолжительностей работ, при этом получится другая продолжительность проекта. После многократного повторения подобного моделирования процесса реализации проекта мы получим статистическое распределение случайной величины его продолжительности, на основе которого можно вычислить среднюю продолжительность проекта и его дисперсию. Также подобный метод позволит определить вероятность того, что данный путь сети станет критическим и что некоторая работа окажется на критическом пути.
Приведенный метод имитационного моделирования называется методом Монте-Карло, в честь известного казино, работа которого похожа на алгоритм его применения. Метод Монте-Карло был разработан для проекта «Манхэттен» («Manhattan») по созданию ядерной бомбы в США в 1940-х годах. Применение этого метода стало возможным благодаря использованию компьютеров, для которых рассчитать 100 и более вариантов расписания одного и того же проекта не представляется сложной задачей.
Однако и метод Монте-Карло, и PERT имеют еще одну проблему, которая связана с тем, что менеджер проекта, наблюдая, как начальные работы проекта выполняются в пессимистические сроки и как изменяется критический путь, не останется пассивным наблюдателем, а будет пытаться изменить ситуацию, перераспределяя или добавляя новые ресурсы, переделывая сетевую модель проекта. Это позволит в конечном счете сжать распределение продолжительности всего проекта, сократив его дисперсию. Учесть подобные действия оба рассмотренных метода не в силах.
