Рассмотрим изменение из нейтрального состояния, в котором ящик и жидкость удлинены в одном направлении x и сокращены вдоль y и z для того, чтобы сохранить объём, причём концы трубок, как предполагается, следуют движению стенок. Стенки, перпендикулярные x, содержат больше концов трубок на единицу площади, чем в нейтральном состоянии; а так как давление близ сердечников низко, то среднее давление на эти стенки менее, чем раньше — состояние, которое можно рассматривать, как растяжение по сравнению с нейтральным состоянием. Наоборот, остальные четыре стенки находятся под давлением.
Наличие сдвигающих напряжений можно вывести из этого примера на основании соображений равновесия, но полезно рассмотреть сдвиг, исходя из первичных принципов. Рассмотрим единичную трубку, которая пересекает поверхность S, ограничивающую объём V, под углом, отличным от 90°. Перенос количества движения через эту поверхность в объём V имеет и нормальную и касательную к S составляющие, так что существуют нормальная и касательная силы, действующие на S. Из соображений симметрии легко показать, что направление касательной силы совпадает с проекцией части трубки, внешней по отношению к V, на S. Эта сила имеет то же самое происхождение, что и вихревая вязкость в теории турбулентности, но отличается от неё, потому что отсутствие вязкости позволяет касательной силе существовать неопределённо долго. Таким образом, истинная прочность на сдвиг является результатом вихревого движения.
В нейтральном состоянии сдвигающие усилия, действующие на поверхность от многих трубок, взаимно уничтожаются, но в напряжённых состояниях это не всегда так. На рис. 1 представлены несколько трубок в элементе объёма: а) в нейтральном состоянии, б) в состоянии растяжения нормального к поверхности и в) при растяжении вращением.
![]()
Рис. 1. Элемент объёма, показанный символически:
а — в нейтральном состоянии; Ь —деформированный при растяжении, нормальном к поверхности и с — деформированный при растяжении и повёрнутый
Очевидно, что в случае в имеется результирующая сдвигающая сила вправо, действующая на среду ниже S. Для такого действия необходима как деформация, так и вращение от нормального положения; в случае а вращение не произведёт сдвига вследствие изотропии.
Деформации, которые мы здесь рассмотрим, достаточно малы, так что при разложении в ряд функций напряжения нам понадобятся только первые члены деформации, и мы считаем справедливым закон Гука. Ради простоты, мы пренебрегаем изменениями массовой плотности, которые могут быть результатом растяжения пустотелых вихревых сердечников и изменениями плотности трубок (длины трубки на единицу объёма). Эти условия требуют, чтобы расходимость смещений среды была равна нулю.
Наличие обычных соотношений напряжение — деформация позволяет воспользоваться некоторыми результатами теории упругости. Для упругой среды со смещением D, для которого расходимость div D равна нулю.
G curl curl
D
+ρ
∂²D
∂t²
=0,
(1)
где G и ρ, соответственно48a, — модуль сдвига и плотность.
Равновесие имеет место, когда curl D невращателен. Примером может служить цилиндрическое смещение:
D
x
=(y²+z²)
½
,
D
y
=D
z
=0.
Так как curl curl D равно нулю, это — одно из состояний равновесия. Интересным в этом примере является то, что при таком смещении трубки искривляются.
Изолированная изогнутая трубка не остаётся стационарной, потому что кривизна приводит к тому, что скорость на вогнутой стороне трубки оказывается большей, чем на выпуклой, а потому она создаёт соответственно пониженное давление на вогнутой стороне. Эта скорость сначала ускоряет первоначально стационарную трубку по направлению к вогнутой стороне, но как только трубка приобретает скорость, возникает подъёмная сила, которая ускоряет трубку в боковом направлении в сторону движения жидкости на вогнутой стороне. Эта подъёмная сила оказывается достаточно большой, чтобы преодолеть градиент давления поперёк трубки. В результате получится боковое смещение в положении трубки. Это движение имеет трансляционный компонент48b и налагающийся на него вращательный компонент. Последний не создаёт направляющего эффекта в среднем, и мы его игнорируем. Трансляционный компонент этого движения называется дрейфом. Для малых искривлений дрейф пропорционален кривизне (см. приложение 2).
В цилиндрическом смещении жидкость находится в равновесии, так что трубки также должны быть в равновесии. Кривизна трубок, которая приводила бы к дрейфу, если бы трубки были изолированными, должна поэтому компенсироваться структурными изменениями. Форма трубок в деформированном состоянии создаёт микроскопические течения и градиенты давления, которые и нейтрализуют действие кривизны. Это имеет место для любого смещения, для которого как div D, так и curl curl D равны нулю.
Кривизна трубки, которая не сопровождается структурными изменениями и, следовательно, остаётся некомпенсированной, создаёт дрейф. Некомпенсированная кривизна вызывается только дифференциальными вращениями, так как только в случаях движений твёрдого тела получается кривизна, не сопровождаемая структурными изменениями. До тех пор, пока трубки следуют движению жидкости, поведение среды является упругим в классическом смысле; но когда трубки дрейфуют относительно жидкости, уравнение (1) неполно, так как в нём нет учёта дрейфа.
III. Уравнения Максвелла
Теперь мы можем сделать наш описательный анализ среды более определённым. Обозначим прочность на вращение каждой трубки через κ, где 2πκ — циркуляция вокруг трубки. Для указания направления циркуляции введём вектор κ и выберем это направление так, чтобы оно совпадало с пальцами правой руки, охватывающей трубку, а большой палец был бы направлен по κ. Величина κ предполагается одинаковой для всех трубок. Дрейф трубки пропорционален её кривизне; коэффициент пропорциональности (коэффициент дрейфа) обозначим через α. Трубка в нейтральной среде занимает среднее положение; боковое смещение от этого положения обозначим через ξ. Тогда дрейф можно записать в виде
