урожайности, связь обратная, как и требуют законы экономики. И вся она была подавлена тем, что оба тренда имели одно и то же направление по совершенно разным причинам: прогресс агротехники — не причина инфляции и роста цен. Равно как и наоборот: инфляция скорее тормозила прогресс урожайности.
Коэффициент регрессии:
b = -952,7/7678 = -0,124
уравнение регрессии: UYi = -0,124∙UXi. Смысл этого уравнения таков: в среднем отклонение себестоимости от ее тренда в i-м году составляет 0,124 величины отклонения урожайности от своего тренда с обратным знаком. Значения себестоимости, рассчитанные по модели с учетом тренда себестоимости и колебаний урожайности, приведены в последней графе табл. 9.3:
y^(x)i = (19,0 + 1,22ti) + (-0,124UXi).
Как видим, полученные по этой модели уровни себестоимости довольно близки к фактическим.
Другим методом измерения корреляции между временными рядами служит метод корреляции цепных показателей динамики, которые являются константами трендов. Для линейных трендов — это абсолютные цепные изменения. Метод предпочтительно применять для таких рядов, в которых среднее изменение (параметр Ь) существенно меньше, чем среднее колебание S(t), иначе говоря, показатель К значительно меньше единицы.
Логика применения метода заключается в том, что если колеблемость намного больше изменения тренда за единицу времени, то цепные абсолютные изменения, т. е. разности соседних уровней, в основном состоят из колебаний. В связи с этим корреляция абсолютных изменений будет мало отличаться от корреляции отклонений от тренда. Метод имеет и преимущество: не нужно вычислять тренд, ошибка в выборе типа тренда не влияет на конечный результат. Расчет идет непосредственно по исходным временным рядам. По данным табл. 9.3 имеем:
Δx = +5,57 ~= +5,8; Δy = +0,738 ~= +0,74.
В отличие от отклонений от тренда средняя величина цепных абсолютных изменений не равна нулю. В связи с этим для расчета параметров корреляции необходимо пользоваться полными формулами, а не сокращенной формулой (9.8). Соответствующие суммы квадратов и произведения отклонении от средних приростов приведены в табл. 9.4.
Исходя из них имеем:
что почти совпадает с ранее полученной величиной коэффициента корреляции отклонений от трендов.
Если тренды признаков являются экспонентами, то вместо корреляции отклонений от трендов можно применить метод корреляции цепных темпов роста уровней, поскольку именно темпы роста — основной параметр экспоненциальных трендов.
Остаются недостаточно проработанными следующие вопросы: насколько допустима корреляция абсолютных изменений, если тренды имеют другой вид (гиперболический, логистический, логарифмический и т. д.)?; если тренд факторного признака одного типа, а результативного — другого типа? Достаточного практического опыта для убедительного ответа на эти вопросы у авторов нет, они будут благодарны читателям, если кто-то из них предложит свои ответы на эти вопросы. Еще раз, и не последний, авторы подчеркивают, что наука — открытая система, продолжающийся процесс познания, открытия новых «материков» (реже) и «островов» (чаще) в бесконечном океане неведомого.
В заключение напомним, что метод корреляции отклонений от трендов основной, он работает независимо от того, одинаковы типы трендов коррелируемых показателей или нет. Прочие методы — суррогаты, имеющие чаще всего, ограничения по типам трендов.
Эти методы лучше применять только при явном преобладании колеблемости над тенденцией изменения за единицу времени, т. е. при малом показателе К для линейных трендов или малых аналогичных показателях для других типов трендов (см. разд. 8.3).
9.5. Корреляция с учетом лага и циклов
Среди природных и общественных явлений нередко встречаются такие, которые связаны между собой не в одном и том же периоде времени, а с некоторым запозданием — по-английски — lag, откуда пошел термин лаг. Например, капиталовложения в создание машиностроительного, автомобильного завода отразятся в росте объема производства не в том году, когда они произведены, а через два-три и более лет, капиталовложения в строительство крупной гидроэлектростанции — через 6–8 лет. При наличии лага в реальной связи изучаемых явлений измерять корреляцию факторного признака с результативным нужно, конечно, не по одновременным уровням, а с учетом лага. Например, отклонение от тренда капиталовложений скажется на отклонении от тренда выпуска продукции через к лет. Значит, измерять корреляцию нужно через произведения
Методика корреляции с учетом лага делится на два подвида:
А. Случай, когда величина лага известна заранее.
Б. Случай, когда саму величину лага следует определить на основе измерения корреляции.
Вначале рассмотрим случай А. Например, на сельскохозяйственном предприятии принят и длительное время действует следующий севооборот: после трех лет многолетних трав участок занимает пропашная культура: картофель, бобовые, овощи, под которые вносится большая доза органических удобрений, а в следующем году на участке высевают зерновые культуры. Необходимо измерить связь между дозой органических удобрений, внесенных под пропашные культуры, и урожайностью зерновых. В данном случае k = 1 году, расчет корреляции приведен в табл. 9.5.
При этом будем считать, что тренд дозы внесенных органических удобрений отсутствует или несуществен.
Средняя доза удобрений: X‾ = 451:11 = 41 т/га.
Тренд урожайности: y^i = 18,0 + 0,6∙ti; t = 0 в 1992 г.
Коэффициент корреляции с учетом лага в 1 год имеет вид:
Связь колебаний дозы удобрений под предшественник зерновых с колебаниями их урожайности на следующий год оказалась средней силы: за счет этой связи объясняется 35 % всей колеблемости урожайности.
Коэффициент регрессии: Ь(х) = 70,4/305 = 0,2308, т. е. 1 т удобрений под пропашные культуры в среднем давала прибавку урожайности зерновых на следующий год 0,23 ц/га.
Уравнение регрессии имеет вид: UYi+1(x) = 0,2308∙ΔXi, свободного члена это уравнение не имеет, так как средние отклонения от тренда и от средней дозы равны нулю. Рассчитанные по этой формуле значения урожайности, т. е. трендовые значения у^i + UY(X)i+1, даны в последней графе табл. 9.5.
Обратите внимание на особенности сумм произведений и сумм квадратов в формулах коэффициента корреляции и коэффициента регрессии: в сравнении с суммами при корреляции отклонений без лага число слагаемых на единицу меньше: в одной из сумм — от конца, в других — от начала. Если же лаг велик, то число слагаемых сильно сократится, а значит, корреляция станет менее надежной: ведь оценка надежности коэффициентов должна рассчитываться в этом случае не по общему числу членов первичного ряда, а исходя из числа реально участвующих в работе коэффициентов. При лаге в 5 лет это число составит (n — 5), а затем еще надо исключить две степени свободы при парной корреляции. Откуда следует еще один вывод: при коротком исходном ряде
