IV. ФОРМУЛА, СВЯЗЫВАЮЩАЯ СКОРОСТЬ ИСТЕЧЕНИЯ ГАЗОВ С ТЕПЛОТВОРНОСТЬЮ ТОПЛИВА
Скорость истечения газов из сопла ракетного двигателя зависит от теплотворности применяемого топлива и степени совершенства двигателя:
Cмакс = 91,5√
Hгде Смакс. — максимальная теоретическая скорость истечения в м/сек,
Н — теплотворность топлива, то есть количество тепла, выделяющегося при сгорании 1 кг топлива (измеряется в ккал/кг).
Значит, скорость истечения изменяется пропорционально корню квадратному из теплотворности топлива.
Пример использования формулы
На сколько увеличится теоретическая скорость истечения газов при переходе с пороха, имеющего теплотворность 1000 ккал/кг, на жидкое топливо (керосин + жидкий кислород) с теплотворностью 2400 ккал/кг?
Cпороха = 91,5√1000 = 2890 м/сек,
Cж. топл. = 91,5√2400 = 4490 м/сек,
Конечно, истинные скорости истечения из-за различных потерь в двигателе будут иными, значительно меньшими (для пороха 1400–1800 м/сек, для жидкого топлива 2200–2500 м/сек).
Как выводится эта формула
В двигателе тепловая энергия топлива преобразуется в кинетическую энергию вытекающих газов. Если это преобразование происходит без потерь, то по закону сохранения энергии где А — тепловой эквивалент работы;
Следовательно, С =√2gH/A = √2·9,81·427 Н ≈ 91,5√Н
V. ФОРМУЛА, СВЯЗЫВАЮЩАЯ СКОРОСТЬ ИСТЕЧЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ ГАЗОВ В ДВИГАТЕЛЕ
Влияние топлива на скорость истечения непосредственно сказывается через параметры газов в двигателе. Эта зависимость дается формулой где Т — абсолютная температура газов в камере сгорания двигателя;
μ — молекулярный вес продуктов сгорания;
const — приближенно постоянная величина для данного двигателя и данных условий его работы (точнее, она несколько зависит и от состава продуктов сгорания).
Значит, скорость истечения газов прямо пропорциональна корню квадратному из абсолютной температуры газов и обратно пропорциональна корню квадратному из молекулярного веса газов.
Пример использования формулы
На сколько изменится скорость истечения газов из жидкостного ракетного двигателя, если температура в нем увеличится с 2500 до 3000°К, а молекулярный вес газов уменьшится с 18 до 14?
По приведенной выше формуле
Значит, скорость истечения увеличится на 24 процента.
Раздел второй
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДВИЖЕНИЯ В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ
I. ЗАКОН ВСЕМИРНОГО ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА
где F — сила притяжения между двумя небесными телами;
f — константа тяготения (гравитационная постоянная),
f = 6,67·10-8
см3/г сек2;
m1, m2 — массы притягивающихся тел;
r — расстояние между центрами тяжести этих тел.
Пример использования формулы
Какая сила притяжения больше и на сколько — Луны и Солнца или Луны и Земли?
Сила притяжения Луны и Солнца:
Сила притяжения Земли и Луны:
Очевидно,
Значит, Луна притягивается Солнцем примерно вдвое сильнее, чем Землей.
Следствия закона тяготения
Вес тела и ускорение земного тяготения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли:
Здесь G и g — соответственно вес тела и ускорение земного тяготения на высоте Н над Землей;
R — радиус земного шара (R — 6378 км);
G0 — вес тела у земной поверхности.
Пример использования формул
На сколько уменьшатся вес и ускорение земного тяготения на высоте орбиты спутника, равной 800 км?
Изменение веса:
то есть вес уменьшится на 21 процент.
На столько же уменьшится и ускорение земного тяготения, то есть g = 9,81·0,79 = 7,75 м/сек2.
II. ИСКУССТВЕННЫЙ СПУТНИК ЗЕМЛИ НА КРУГОВОЙ ОРБИТЕ
А. Круговая скорость
Как найти величину круговой скорости, то есть той скорости, с которой должен двигаться спутник, чтобы его высота над Землей оставалась неизменной?
Высота спутника не меняется в том случае если он каждое мгновение на столько же удаляется от Земли в своем движении по инерции, на сколько приближается к ней в результате непрекращающегося падения на Землю. Это и позволяет найти необходимую круговую скорость спутника.
Рассмотрим движение спутника за 1 секунду, причем для простоты будем считать, что спутник движется у самой поверхности Земли, то есть высота равна нулю. Тогда за 1 секунду спутник приблизится к центру Земли, в результате притяжения к ней, на величину
На эту же величину он должен удалиться от центра Земли, что позволяет построить прямоугольный треугольник (см. рисунок).
Так можно определить круговую скорость искусственного спутника Земли (масштаб построения не соблюден).По теореме Пифагора
Vокp. = √9,81·6 378 000 = 7910
м/сек.
Эту же задачу можно решить и иначе. Если высота спутника не меняется, то это значит, что его центростремительное ускорение в точности равно ускорению земного тяготения. (Это вовсе не означает, как иногда пишут, что центробежная сила «уравновешивает» вес спутника.)
Следовательно,
и
Vокp= √
g0
R,
как и ранее.
Как изменяется круговая скорость с высотой орбиты спутника?
Очевидно; на высоте Н
Vкp = √
g(R+H)Но так как то
Это значит, что круговая скорость изменяется обратно пропорционально корню квадратному из расстояния до центра Земли.
Высота Н в км Круговая скорость Vкр. в м/сек 0 7 910 255 7 760 1 000 7 360 1 670 7 040 35 800 3 080 384 000 (орбита Луны) 1 010
Б. Период обращения спутника
Время, за которое спутник совершит один полный оборот вокруг Земли, равно, очевидно, длине пути за оборот, деленной на круговую скорость:
(Т — так называемый сидерический, или звездный, период обращения).
Но вследствие чего
Подстановка значений R и g0 дает следующую довольно точную для приближенных расчетов формулу:
T ≈ 0,01 (
R+H)3/2 Высота Н в км Период обращения спутника Т в сек 0 5 070 (1,4 часа) 255 5 400 (1,5 часа) 1 000 6 340 (1,76 часа) 1 670 7 200 (2 часа) 35 800 86 400 (24 часа) 384 000 2,36·106 (27,3 суток)
III. СКОРОСТЬ ОТРЫВА (ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ)
Скорость отрыва (или параболическая скорость) есть та скорость, которая должна быть сообщена телу у поверхности Земли, чтобы полностью преодолеть поле земного тяготения — удалить тело в бесконечность.
