Модель ТОМА СОЙЕРА
Но если сам шар «знает», где он находится, может быть, все-таки не стоит быть столь категоричными? Может быть, все-таки есть возможность предсказать положение шаров на бильярде?Некоторую идею в этом направлении нам может дать метод, разработанный в свое время бессмертным Томом Сойером и успешно использованный им также для определения местонахождения шара, точнее, шарика.Процитируем соответствующие строки из книги Марка Твена:«…он подумал, что, пожалуй, стоило бы отыскать шарик, который он забросил, и терпеливо принялся за розыски. Но найти шарик не мог. Тогда он вернулся к тайнику, стал на то самое место, с которого бросал шарик, вынул из кармана второй шарик и бросил его в тем же направлении, приговаривая:— Брат, ступай ищи брата!Он заметил, куда упал шарик, побежал туда и стал искать. Должно быть, шарик упал слишком близко или слишком далеко. Том проделал то же самое еще два раза. Последняя проба удалась: шарики лежали на расстоянии фута друг от друга».Так, может быть, все дело обстоит довольно просто? Достаточно взять два бильярдных стола, выставить па них пирамидки в точности одинаковым образом и совершить в точности одинаковые первые удары, тогда, наблюдая за ситуацией на одном из столов, можно будет знать, что происходит на другом? Увы, читатель отлично знает, что это не так. Если мы возьмем даже не два, а, скажем, тысячи бильярдных столов, то непосредственно из собственного опыта мы можем сделать заключение, что, к примеру, через полчаса после первого удара среди этой тысячи не найдется и двух столов с одинаковым расположением шаров.Объясняется это хотя бы тем, что в природе не существует и не может существовать двух в точности одинаковых бильярдных шаров, а также тем, что, даже пользуясь сверхсовременной измерительной техникой, мы не сумеем выставить две в точности одинаковые пирамидки.Приходим к окончательному заключению. Благодаря отражениям от бортов и друг от друга каждый движущийся бильярдный шар совершает весьма сложную траекторию. Обратите внимание на слово «сложную», оно еще не раз встретится нам в дальнейшем. В силу этой сложности оказывается, что по прошествии достаточно большого количества времени после первого удара на поверхности бильярда не останется ни одной, даже самой маленькой области, в которой выбранный шар не побывал хотя бы однажды. Это объективная характеристика бильярдного стола. Достаточно отметить на поверхности стола какую угодно область и наблюдать за ней не отрывая глаз, и рано или поздно, но ваш шар пересечет эту область.
БИЛЬЯРД С КРЫШКОЙ
Только что сказанное представляет собой содержание так называемой теоремы Луивилля, лежащей в основе современной статистической физики. Если шар рано или поздно побывает в любой, сколь угодно малой, области, у нас нет никаких оснований выделить какую-либо область и считать ее преимущественной для пребывания данного шара. Заметим, что такая характеристика не совсем объективна, поскольку в ней идет речь об основаниях, имеющихся у нас. И тем не менее она целиком вытекает из предыдущих.Поскольку у нас нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо область поверхности бильярдного стола другой, мы можем сделать и такое заключение: среднее количество времени, в течение которого данный шар пребывает в пределах данной области на поверхности бильярда, зависит только от размеров этой области. Это уже объективная характеристика, поскольку среднее количество времени можно измерить.Все три только что сформулированные характеристики по существу означают одно и то же. И причина того, что это именно так, одна — каждый из движущихся бильярдных шаров описывает достаточно сложную траекторию.Перед тем как перейти к дальнейшему, сделаем следующее замечание. При описании поведения бильярдных шаров нам несколько раз пришлось использовать слова «знаем», «не знаем». Это отступление может дать читателю некоторую идею относительно того, почему мы занялись изучением бильярда в книге, посвященной информации и интуиции.А теперь пойдем дальше. Закроем ровно половину (скажем, правую) бильярдного стола специально изготовленной крышкой. Крышка должна быть сделана так, чтобы она не оказывала никакого влияния на движение шаров, а лишь скрывала от наших глаз все, что происходит с шарами в пределах закрытой половины стола. Теперь нашему наблюдению доступна лишь левая половина бильярда. Введем понятие состояний. Будем считать, что бильярд находится в состоянии 0, если в пределах левой половины нет ни одного шара. Бильярд находится в состоянии 1, если в пределах левой половины находится один шар, в состоянии 2, если в пределах левой половины находится два шара, и т. д., в состоянии 16, если в пределах левой половины собрались все шестнадцать шаров.Заметим теперь, что состояния 0 и 16 могут быть реализованы единственным способом: когда все шары находятся справа или слева. Состояния 1 и 15 могут быть реализованы шестнадцатью различными способами: первый шар находится слева (справа), остальные в противоположной стороне, второй шар находится слева (справа), остальные… и т. д. Для подсчета числа способов, которыми могут быть реализованы состояния 2 и 14, будем рассуждать следующим образом. Имеется пятнадцать способов, в которых участвует шар номер 1, а именно: слева (справа) находятся шары с номерами 1 и 2, 1 и 3 и т. д., 1 и 16; четырнадцать способов, в которых участвует шар номер 2: это 2 и 3, 2 и 4 и т. д. … 2 и 1.6 (способ «2 и 1» уже был учтен в предыдущем случае); тринадцать способов с участием шара номер 3: это 3 и 4, 3 и 5, и т. д., всего 120 способов.Количество способов, которыми может быть реализовано каждое состояние, сведено в следующую таблицу, из которой мы видим, что наибольшим числом способов могут быть реализованы состояния 7, 8 и 9, то есть состояния, когда примерно половина шаров расположена на правой стороне бильярда, а другая половина — на левой.Состояния Кол-во способов, которыми могут быть реализованы данные состояния0 и 16 11 и 15 612 и 14 1203 и 13 5604 и 12 18205 и 11 43686 и 10 80087 и 9 114408 12870
Мы уже установили, что для каждого отдельного шара нет никаких оснований выделять преимущественную область его пребывания. С тем же успехом мы можем утверждать, что нет никаких оснований предпочесть одну какую-либо конфигурацию расположения шаров другой. А коли так, то точно так же, как мы это делали раньше, мы можем установить, что, какова бы ни была конфигурация расположения шаров, рано или поздно она реализуется, и что среднее количество времени, в течение которого на бильярдном столе имеет место данная конфигурация, одинаково для всех конфигураций.Каждый из рассмотренных выше способов представляет собой частный случай конфигурации. Следовательно, мы можем прийти к выводу, что среднее количество времени, в течение которого бильярдный стол находится в данном состоянии, пропорционально количеству способов, которыми реализуется данное состояние. Эти средние количества времени (в долях от полного времени наблюдений) сведены в таблицу. Из рассмотрения это? таблицы видно, что большую часть времени бильярдный стол проводит в состояниях 7, 8 и 9.
Состояния Среднее время в долях от полного времени наблюдений0 и 16 1,5*10-51 и 15 2,4*10-42 и 14 1,8*10-33 и 13 8,5*10-34 и 12 2,8*10-25 и 11 6,7*10-26 и 10 0,127 и 9 0,178 0,2Можно сказать и иначе. Если, бросив взгляд на бильярдный стол, мы застали его в состоянии 0 или 1 (15 или 16), у нас есть все основания ожидать, что в самом скором времени на смену этому состоянию придет какое-нибудь более часто встречающееся. Наоборот, если, случайно бросив взгляд на бильярдный стол, мы застаем его в состоянии 7, 8 или 9, у нас есть все основания считать, что еще в течение достаточно долгого времени он будет пребывать в этом состоянии. Можно сказать, что бильярдный стол стремится к состояниям 7, 8 или 9. Это верно в том смысле, что действительно на смену редко встречающимся состояниям быстро приходят часто встречающиеся состояния.Однако этим все и ограничивается. Другими словами, если уж использовать слово «стремится» (почему — будет ясно из дальнейшего), то надо хорошо отдавать себе отчет в том, что в данном контексте это слово значит лишь то, что было только что сказано. Не существует никакого специального механизма, который заставлял бы бильярдный стол стремиться к, состояниям 7, 8 или 9 в том смысле, в каком можно сказать, что стальной шарик стремится притянуться к магниту. Все зависит от того, как мы определили состояния. Именно из этого определения вытекает, что состояния 7, 8 и 9 реализуются значительно большим количеством способов, чем состояния 0 и 16.С другой стороны, состояния, определенные именно так, имеют достаточно четкий физический смысл. Например, общая масса шаров, расположенных в пределах, скажем, левой половины стола, равна массе одного шара, помноженной на номер состояния. С этой точки зрения можно также сказать, что большую часть времени бильярдный стол проводит в таком состоянии, когда масса шаров, расположенных слева, примерно равна массе шаров, расположенных справа.Мы нарочно тратим так много времени, чтобы читатель мог до конца понять и как следует прочувствовать следующее обстоятельство. Единственное реально наблюдаемое на поверхности стола физическое явление — это то, что шары двигаются, сталкиваются друг с другом и с бортами стола и вследствие этого описывают весьма сложные траектории. Все остальное есть лишь различные способы описания этого обстоятельства и, возможно, различные его следствия. Обнаруженные нами закономерности выполняются тем строже, чем больше шаров. Например, для пятидесяти шаров среднее количество времени, в течение которого стол будет находиться в одном из «средних» состояний, окажется уже равным 0,8, а для ста шаров —- равным 0,94.
