Шаг резолюции порождает третий дизъюнкт:
Y v Z
Нетрудно показать, что этот дизъюнкт логически следует из тех двух дизъюнктов, из которых он получен. Таким образом, добавив выражение (Y v Z) к нашей исходной формуле, мы не изменим ее истинности. Резолюционный процесс порождает новые дизъюнкты. Появление "пустого дизъюнкта" (обычно записываемого как "nil") сигнализирует о противоречии. Действительно, пустой дизъюнкт nil порождается двумя дизъюнктами вида
x и ~x
которые явно противоречат друг другу.
Рис. 16.6. Доказательство теоремы (а=>b)&(b=>с)=>(a=>с) методом резолюции. Верхняя строка — отрицание теоремы в конъюнктивной нормальной форме. Пустой дизъюнкт внизу сигнализирует, что отрицание теоремы противоречиво.
На рис. 16.6 показан процесс применения резолюций, начинающийся с отрицания нашей предполагаемой теоремы и заканчивающийся пустым дизъюнктом.
На рис. 16.7 мы видим, как резолюционный процесс можно сформулировать в форме программы, управляемой образцами. Программа работает с дизъюнктами, записанными в базе данных. В терминах образцов принцип резолюции формулируется следующим образом:
если
существуют два таких дизъюнкта C1 и C2, что P является (дизъюнктивным) подвыражением C1, а ~P — подвыражением C2
то
удалить P из C1 (результат — CA), удалить ~P из C2 (результат — CB) и добавить в базу данных новый дизъюнкт CA v CB.
На нашем формальном языке это можно записать так:
[ дизъюнкт( C1), удалить( P, C1, CA),
дизъюнкт( C2), удалить( ~P, C2, CB) ] --->
[ assert( дизъюнкт( СА v СВ) ) ].
Это правило нуждается в небольшой доработке. Дело в том, что мы не должны допускать повторных взаимодействий между дизъюнктами, так как они порождают новые копии уже существующих формул. Для этого в программе рис. 16.7 предусматривается запись в базу данных информации об уже произведенных взаимодействиях в форме утверждений вида
сделано( C1, C2, P)
В условных частях правил производится распознавание подобных утверждений и обход соответствующих повторных действий.
Правила, показанные на рис. 16.7, предусматривают также обработку специальных случаев, в которых требуется избежать явного представления пустого дизъюнкта. Кроме того, имеются два правила для упрощения дизъюнктов. Одно из них убирает избыточные подвыражения. Например, это правило превращает выражение
a v b v a
в более простое выражение a v b. Другое правило распознает те дизъюнкты, которые всегда истинны, например,
a v b v ~а
и удаляет их из базы данных, поскольку они бесполезны при поиске противоречия.
% Продукционные правила для задачи автоматического
% доказательства теорем
% Противоречие
[ дизъюнкт( X), дизъзюнкт( ~X) ] --->
[ write( 'Обнаружено противоречие'), стоп].
% Удалить тривиально истинный дизъюнкт
[ дизъюнкт( С), внутри( P, С), внутри( ~P, С) ] --->
[ retract( С) ].
% Упростить дизъюнкт
[ дизъюнкт( С), удалить( P, С, C1), внутри( P, C1) ] --->
[ заменить( дизъюнкт( С), дизъюнкт( C1) ) ].
% Шаг резолюции, специальный случай
[ дизъюнкт( P), дизъюнкт( С), удалить( ~P, С, C1),
not сделано( P, С, P) ] --->
[ аssеrt( дизъюнкт( C1)), аssert( сделано( P, С, P))].
% Шаг резолюции, специальный случай
[ дизъюнкт( ~P), дизъюнкт( С), удалить( P, С, C1),
not сделано( ~P, С, P) ] --->
[ assert( дизъюнкт( C1)), аssert( сделано( ~P, С, P))].
% Шаг резолюции, общий случай
[ дизъюнкт( C1), удалить( P, C1, CA),
дизъюнкт( C2), удалить( ~P, C2, CB),
not сделано( C1, C2, P) ] --->
[ assert( дизъюнкт( CA v CB) ),
assert( сделано( C1, C2, P) ) ].
% Последнее правило: тупик
[] ---> [ write( 'Нет противоречия'), стоп ].
% удалить( P, E, E1) означает, получить из выражения E
% выражение E1, удалив из него подвыражение P
удалить( X, X v Y, Y).
удалить( X, Y v X, Y).
удалить( X, Y v Z, Y v Z1) :-
удалить( X, Z, Z1).
удалить( X, Y v Z, Y1 v Z) :-
удалить( X, Y, Y1).
% внутри( P, E) означает P есть дизъюнктивное подвыражение
% выражения E
внутри( X, X).
внутри( X, Y) :-
удалить( X, Y, _ ).
Рис. 16.7. Программа, управляемая образцами, для автоматического доказательства теорем.
Остается еще один вопрос: как преобразовать заданную пропозициональную формулу в конъюнктивную нормальную форму? Это несложное преобразование выполняется с помощью программы, показанной на рис. 16.8. Процедура
транс( Формула)
транслирует заданную формулу в множество дизъюнктов C1, C2 и т.д. и записывает их при помощи assert в базу данных в виде утверждений
дизъюнкт( C1).
дизъюнкт( C2).
...
Программа, управляемая образцами, для автоматического доказательства теорем запускается при помощи цели пуск. Таким образом, для того чтобы доказать при помощи этой программы некоторую теорему, мы транслируем ее отрицание в конъюнктивную нормальную форму, а затем запускаем резолюционный процесс. В нашем примере это можно сделать так:
?- транс(~(( а=>b) & ( b=>c) => ( а=>с)) ), пуск.
Ответ программы "Обнаружено противоречие" будет означать, что исходная формула является теоремой.
% Преобразование пропозициональной формулы в множество
% дизъюнктов с записью их в базу данных при помощи assert
:- op( 100, fy, ~). % Отрицание
:- op( 110, xfy, &). % Конъюнкция
:- op( 120, xfy, v). % Дизъюнкция
:- op( 130, xfy, =>). % Импликация
транс( F & G) :- !, % Транслировать конъюнктивную формулу
транс( F),
транс( G).
транс( Формула) :-
тр( Формула, НовФ), !, % Шаг трансформации
транс( НовФ).
транс( Формула) :- % Дальнейшая трансформация невозможна
assert( дизъюнкт( Формула) ).
% Правила трансформаций для пропозициональных формул
тр( ~( ~X), X) :- !. % Двойное отрицание
тр( X => Y, ~X v Y) :- !. % Устранение импликации
тр( ~( X & Y), ~X v ~Y) :- !. % Закон де Моргана
тр( ~( X v Y), ~X & ~Y) :- !. % Закон де Моргана
тр( X & Y v Z, (X v Z) & (Y v Z) ) :- !.
% Распределительный закон
тр( X v Y & Z, (X v Y) & (X v Z) ) :- !.
% Распределительный закон
тр( X v Y, X1 v Y) :- % Трансформация подвыражения
тр( X, X1), !.
тр( X v Y, X v Y1) :- % Трансформация подвыражения
тр( Y, Y1), !.
тр( ~X, ~Х1) :- % Трансформация подвыражения
тр( X, X1).
Рис. 16.8. Преобразование пропозициональных формул в множество дизъюнктов с записью их в базу данных при помощи assert.
16.4. Заключительные замечания
Нашего простого интерпретатора было вполне достаточно для того, чтобы проиллюстрировать некоторые идеи, лежащие в основе программирования в терминах образцов. Применение этого интерпретатора для более сложных приложений потребовало бы его доработки в целом ряде направлений. Ниже приводится несколько критических замечаний, а также ряд конкретных предложений по усовершенствованию алгоритма интерпретации.
Задача разрешения конфликтов была сведена в нашем интерпретаторе к введению заранее заданного фиксированного порядка рассмотрения модулей. Часто возникает необходимость в более гибких механизмах. Для обеспечения более тонкого управления интерпретацией следует подавать все обнаруженные потенциально активные модули на вход специального управляющего модуля, запрограммированного пользователем.
Когда база данных велика, а программа содержит большое количество модулей, процесс сопоставления с образцами становится крайне неэффективным. Неэффективность можно уменьшить, усложнив организацию базы данных. В частности, можно ввести индексирование информации, записанной в базе данных, или разбить эту информацию на отдельные "подбазы данных", или же разбить все множество модулей на отдельные подмножества. Идея разбиения — в каждый момент дать доступ только к некоторому подмножеству базы данных или набора модулей, ограничив тем самым сопоставление образцов только этим подмножеством. Разумеется, в этом случае механизм управления должен усложниться, поскольку он должен будет обеспечить переход от одних подмножеств к другим с целью их активизации либо деактивизации. Для этого можно применить специальные метаправила.
