Но протыкание отверстия в пространстве, которое в остальных частях остается гладким, создает сингулярность. Это в свою очередь создает проблемы для сторонников общей теории относительности, которым теперь придется бороться с бесконечной кривизной и тому подобными вещами. Теория струн, однако, может обойти эту проблему. Например, в 1987 году мы с моим аспирантом Гангом Тианом продемонстрировали метод, известный как флоп-переход, который дает множество примеров многообразий Калаби-Яу, тесно связанных между собой, но топологически различных.
Конифолдные переходы, которые мы обсуждали в десятой главе, представляют собой еще более драматический пример топологического изменения с участием пространства Калаби-Яу. Давайте представим двухмерную поверхность типа футбольного мяча, расположенного внутри пространства Калаби-Яу, как показано на рис. 14.3. Мы можем сжать футбольный мяч до узкой полосы (струны), которая, в конце концов, исчезнет, оставив вместо себя разрыв — вертикальную щель, в ткани пространства-времени. Затем мы будем наклонять щель, толкая «ткань» над и под ней навстречу друг другу. Таким образом, вертикальная щель постепенно превратится в горизонтальную щель, в которую мы можем вставить, а затем снова расширить другой футбольный мяч. Футбольный мяч сейчас оказался «перестроенным» относительно своей первоначальной конфигурации. Если эту процедуру проделать математически точно, то есть разрывая пространство в определенный момент, открывая его, переориентируя разрыв и вставляя новую двухмерную поверхность со смещенной ориентацией обратно в шестимерное пространство, вы получите топологически другое пространство Калаби-Яу и, таким образом, совершенно иную форму по сравнению с исходной.
Рис. 14.3. Для того чтобы представить флоп-переход, необходимо сделать вертикальный разрез в двухмерной ткани. Затем, нажимая на ткань сверху и снизу, толкать ее так, чтобы вертикальная щель становилась все шире и шире и в конечном счете превратилась в горизонтальную щель. Таким образом, щель или разрыв, который когда-то находился в вертикальном положении, в настоящее время «перестроился», то есть перевернулся на другую сторону. Многообразия Калаби-Яу могут подвергаться флоп-переходам и когда внутренние структуры переворачиваются аналогичным образом (часто после первоначального разрыва), в результате чего получаются многообразия, топологически отличные от исходных. Флоп-переход особенно интересен тем, что четырехмерная физика, связанная с этими многообразиями, остается той же самой, несмотря на различия в топологии
Флоп-переход представляет математический интерес, поскольку он показывает, как, начав с одного пространства Калаби-Яу со знакомой топологией, в конечном итоге получить другие, неизвестные нам пространства Калаби-Яу. В результате, мы, математики, можем использовать этот подход для создания с целью исследования большего количества пространств Калаби-Яу или, иначе говоря, «поиграть» с ними. Но я также подозреваю, что флоп-переход имеет некоторый физический смысл. Оглядываясь назад и оценивая прошлые события, любой может подумать, что я наделен даром предвидения, хотя это не тот случай. Я чувствую, что любая общая математическая операция, которую мы можем выполнить с Калаби-Яу, также должна иметь применение в физике. Я попросил Брайана Грина, который был моим постдоком в то время, разобраться в этом вопросе, а также напомнить об этой идее нескольким другим физикам, которые, на мой взгляд, положительно воспримут ее. Грин несколько лет игнорировал мои советы, но в 1992 году наконец-то начал работать над задачей вместе с Полом Эспинволлом и Моррисоном. Глядя на то, что они придумали, стоило подождать эти несколько лет.
Эспинволл, Грин и Моррисон хотели знать, наблюдается ли что-то типа флоп-перехода в природе и может ли пространство само себя разорвать, несмотря на то что в рамках общей теории относительности гладкое искривленное пространство-время не склонно к разрыву. Мало того что это трио ученых хотели определить, встречается ли этот тип перехода в природе, они также хотели знать, может ли он иметь место в теории струн.
С этой целью они взяли многообразие Калаби-Яу со сферой (вместо футбольного мяча), расположенной внутри него, и подвергли его флоп-переходу, а затем использовали полученное (топологически измененное) многообразие для компактификации шести из десяти измерений пространства-времени, чтобы посмотреть, какой вид четырехмерной физики получится в результате. В частности, они хотели предсказать массу определенной частицы, которую фактически они могли вычислить. Затем они повторили тот же процесс, на этот раз используя зеркального партнера оригинального пространства Калаби-Яу. Однако в случае с зеркальным партнером сфера не сократилась до нулевого объема, пройдя через флоп-переход. Другими словами, не было никакого разрыва пространства, ни сингулярности; струнная физика, по словам Грина, «вела себя безупречно»[293]. Далее, они вычислили массу этой же частицы, на этот раз связанную с зеркальным многообразием, и сравнили результаты. Если бы предсказания подтвердились, то это означало бы, что разрыв пространства и сингулярность, о которых мы говорили, не являются проблемой; теория струн и геометрия, на которую она опирается, может справиться с этой ситуацией без проблем. Расчетная масса частицы соответствовала предсказанной почти идеально, а это означало, что разрывы такого рода могут возникнуть в теории струн без серьезных последствий.
Но на один вопрос их анализ не смог дать ответ: как такое может быть правдой? Как, например, сфера может сократиться до нулевого объема (размера точки в традиционной геометрии), если наименьший допустимый размер имеет отдельная струна? Возможные ответы содержатся в статье Виттена, которая вышла в то же время. Виттен показал, как петля струны может окружить пространственный разрыв, тем самым защищая Вселенную от пагубных эффектов, которые, в противном случае, могут возникнуть.
«Мы выяснили, что, когда классическая геометрия Калаби-Яу является сингулярной, четырехмерная физика выглядит ровной, — объясняет Эспинволл. — Массы частиц не стремятся к бесконечности, и ничего плохого не происходит». Таким образом, квантовая геометрия теории струн должна давать «сглаживающий эффект», беря то, что классически выглядит сингулярным, и делая это не сингулярным.[294]
Флоп-переход может пролить свет на то, как может выглядеть квантовая геометрия, показывая нам те ситуации, с которыми классическая геометрия не может справиться. Классическая геометрия без проблем может описать ситуацию в начале и в конце флоп-перехода, но не в середине, где ширина футбольного (или баскетбольного) мяча сокращается до нуля. Увидев, что именно теория струн делает по-другому в этом случае, а также во многих других, мы можем сделать вывод о том, как необходимо изменить классическую геометрию, то есть какого типа квантовые поправки внести.
Следующий вопрос, требующий ответа, по словам Моррисона, это «являются ли квантовые модификации, которые нам необходимо выполнить в геометрии, достаточно геометрическими, чтобы она все еще могла называться геометрией, или они будут настолько радикально отличающимися, что нам придется отказаться от понятия геометрии в целом». Квантовые поправки, которые мы обсуждали до сих пор на таких примерах, как флоп-переход, «все еще могут быть описаны геометрически, даже если их нелегко вычислить», — говорит он. Но мы не знаем, является ли это вообще правдой.[295]
Лично я готов держать пари, что, в конце концов, геометрия будет доминировать. И я верю, что термин геометрия останется в обращении не просто из-за ностальгии, а потому, что сама эта область науки будет продолжать предоставлять полезные описания Вселенной, как это всегда происходило в прошлом.
Заглядывая в будущее, мы понимаем, что создание теории квантовой геометрии или теории с другим названием, безусловно, выдвигается в качестве одной из самых грандиозных задач в области геометрии, если не вообще всей математики. Это, вероятно, затянется на десятилетия долгих мытарств и потребует тесного сотрудничества между физиками и математиками. Хотя задача, несомненно, требует математической строгости, которую мы всегда стараемся соблюсти, многое зависит от интуиции физиков, которые никогда не перестают удивлять нас, математиков.
На данном этапе моей карьеры, а я в игре уже около сорока лет, я, конечно, не питаю никаких иллюзий по решению этой проблемы собственными силами. В отличие от более узко очерченной задачи, которую человек в состоянии решить в одиночку, эта потребует междисциплинарных усилий, выходящих за рамки деятельности одинокого практика. Но, учитывая, что пространства Калаби-Яу занимали центральное место в некоторых из наших первых попыток получить точки опоры по квантовой геометрии, я надеюсь внести свой вклад в это грандиозное предприятие, поскольку это часть моих давних поисков божественной формы внутреннего пространства.
