Так, когда Моссоти заметил, что Фарадей доказал аналогичность некоторых величин, относящихся к электростатической индукции в диэлектриках, и некоторых величин, относящихся к магнитной индукции в железе и других телах, он смог воспользоваться математическими исследованиями Пуассона, относящимися к магнитной индукции, переведя лишь их с магнитного языка на язык электричества и с французского на итальянский.
Другой пример, далеко не столь очевидный, — это пример аналогии, существующей между вопросами притяжения и вопросами установившейся теплопередачи, впервые отмеченный сэром Вильямом Томсоном. Пользуясь ею, мы можем применить многие результаты, полученные Фурье для теплоты, при объяснении электрического распределения и все результаты, полученные Пуассоном для электричества, для объяснения проблем теории теплоты.
Но ясно, что все аналогии такого рода основаны на значительно более глубоких принципах и что если бы мы имели настоящую математическую классификацию величин, то мы могли бы сразу открыть аналогию между любой представленной нам системой и другими системами величин в уже известных нам науках. Таким образом мы не теряли бы времени, так как пользовались бы математическими трудами тех, кто уже в основном разрешил проблемы того же рода.
Все величины могут быть объединены в одном отношении, а именно: в том, что их можно определить при помощи двух факторов. Первый фактор есть числовая величина, а второй — единица того же рода, как и определяемая.
Таким образом, можно сказать, что число управляет всем миром количеств, и четыре действия арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математика.
Положение и форму, считавшиеся ранее в исключительном распоряжении геометров, остроумным построением координатных осей, положенных им в основу своих операций, Декарт заставил подчиниться законам арифметики.
Со времени этого большого шага, сделанного математикой, все величины рассматривались одинаковым образом и представлялись при помощи чисел или символов, означающих числа. Таким образом, как только какая-нибудь наука полностью приводилась к математической форме, предполагалось (по крайней мере в мире неспециалистов), что решение проблем в этой науке как умственный процесс производится без помощи каких бы то ни было физических идей этой науки.
Мне не приходится говорить, что это неправильно и что при решении физических проблем математикам оказывает большую помощь знание науки, в которой эта проблема встречается.
В то же время я думаю, что для успеха науки как в области открытий, так и в области распространения её было бы весьма полезно, если бы обращали больше внимания непосредственно на классификацию величин.
Чрезвычайно важное различие было проведено Гамильтоном, разделившим величины, с которыми он имел дело, на скаляры, полностью изображаемые одной числовой величиной, и векторы, требующие для своего определения трёх числовых величин.
Изобретение исчисления кватернионов есть шаг вперёд к познанию величин, связанных с пространством, сравнимое по своему значению лишь с изобретённой Декартом системой координат. Идеи этого исчисления, отвлечённые от его действий и символов, могут быть чрезвычайно полезны во всех областях науки.
Можно предположить, что другим важным шагом вперёд в развитии науки явилось бы изобретение метода, столь же подходящего для представления динамических величин. Подобно тому как наши представления о физической науке становятся более жизненными при замене чисто числовых идей картезианской математики геометрическими идеями гамильтоновской математики, так в более высоких пауках идеи могли бы получить ещё более высокое развитие, если бы их можно было выразить на языке, столь же соответствующем динамике, насколько гамильтоновский соответствует геометрии.
Другим преимуществом этой классификации является то, что она руководит нами в применении четырёх правил арифметики. Мы знаем, что можно применять законы сложения и вычитания только в том случае, если мы имеем дело с величинами одного и того же рода. В некоторых случаях мы можем перемножать или делить одну величину на другую, но в других случаях результат этого действия не имеет никакого рационального значения.
Профессор Ранкин указал, что физическая величина, называемая энергией или работой, может быть представлена в виде произведения двух множителей многими различными способами.
Размерность этой величины ML²/T² где L, M и T представляют собой конкретные единицы длины, массы и времени. Если мы разложим энергию на два множителя, из которых один будет заключать L², то оба множителя будут скалярами. С другой стороны, если каждый из них будет заключать L, то они оба будут векторами. Сама энергия всегда скалярная величина.
Так, если мы возьмём в качестве множителей массу и квадрат скорости, как это делается в обычных определениях живой силы или кинетической энергии, то оба множителя — скаляры, хотя один из них, квадрат скорости, не имеет своего определённого физического значения.
Другим разложением на, по-видимому, скалярные множители является разложение на объём и гидростатическое давление, хотя мы должны рассматривать здесь объём не сам по себе, но как величину, подверженную возрастанию и уменьшению. Это изменение объёма может происходить лишь на поверхности и вызывается изменениями поверхности в направлении нормали, так что оно есть не скалярная, а векторная величина. Также и давление — хотя в абстрактном представлении гидростатическое давление и скалярно — нужно представить себе приложенным к поверхности. Таким образом оно становится направленной величиной, или вектором.
Разложение энергии на векторные множители даёт результаты, всегда допускающие удовлетворительную интерпретацию их. Один из сомножителей представляют себе как тенденцию к какому-то изменению, а другой как само изменение.
Так, в элементарном определении работы её рассматривают как произведение силы на путь, по которому движется точка приложения силы, взятый в виде проекции на направление силы. На языке кватернионов она есть скалярная часть произведения силы на перемещение.
Можно рассматривать эти два вектора, силу и перемещение, как типичную пару векторов, произведение которых представляет своей скалярной частью некоторую из форм энергии.
Так, вместо разложения кинетической энергии на множители: «масса» и «квадрат скорости»,— из которых последний не имеет смысла, мы можем разложить её на «момент» и «скорость»—два вектора, которые в динамике материальной частицы имеют одинаковое направление, но в обобщённой динамике могут иметь различные направления, так что, беря их произведение, нужно помнить правило нахождения его скалярной части.
Но общий принцип разложения энергии на два множителя особенно ясно виден, когда мы имеем дело со сплошными телами и величинами, распределёнными в пространстве.
Когда мы рассматриваем энергию как нечто существенно присущее телу, мы можем измерять интенсивность количеством, заключённым в единице объёма. Это, конечно,— величина скалярная.
Из двух составляющих её множителей один относится к единице длины, а другой — к единице площади. Это даёт, с моей точки зрения, чрезвычайно существенное различие между векторными величинами.
Векторы, относимые к единице длины, я буду называть силами, употребляя, как мы увидим, это выражение в несколько обобщённом смысле. Операция интегрирования составляющей силы в направлении некоторой линии для каждого элемента этой линии всегда имеет физическое значение. В некоторых случаях результат интегрирования независим от пути между её начальной и конечной точками. Результат называется тогда потенциалом.
Векторы, относимые к единице площади, я буду называть потоками. Операция интегрирования составляющей потока, перпендикулярной к поверхности, для каждого элемента поверхности всегда имеет физический смысл. В некоторых случаях результат интегрирования по замкнутой поверхности не зависит, с некоторыми ограничениями, от положения поверхности. Результат выражает тогда количество некоторого рода вещества, либо существующего внутри поверхности, либо вытекающего из неё, соответственно физической природе потока.
