Рис. 12
Рис. 13
Задача 6.3. Все вороны собирают картины. Некоторые собиратели картин сидят в птичьей клетке. Следует ли из этого, что некоторые вороны сидят в птичьей клетке?
Ответ. Нет.
Решение 1. То, что все вороны собирают картины, выглядит так же, как и в предыдущей задаче. По условию круг собирателей картин пересекается с кругом сидящих в птичьей клетке. А вот пересекается ли он с кругом ворон – неизвестно (см. рис. 14).
Рис. 14
Решение 2. Приведем контрпример. Пусть есть всего одна ворона А. Она собирает картины, но не сидит в клетке. Еще есть попугай В, который собирает картины и сидит в птичьей клетке. Тогда оба условия выполнены, но никакая ворона не сидит в птичьей клетке.
Замечание. Конечно, с точки зрения здравого смысла приведенный пример абсурден – но не более, чем условие задачи. Логика лишь учит нас правильно делать выводы из исходных утверждений. Ничего удивительного нет в том, что из странных утверждений получаются странные выводы.
До сих пор мы обсуждали только утвердительные высказывания. Чтобы делать выводы из отрицательных высказываний, иногда проще всего заменить их на утвердительные высказывания того же смысла. Например, вместо высказывания «Ни одно доброе дело не остается безнаказанным» можно рассматривать такое: «За любое доброе дело наказывают». Но можно нарисовать и исходное высказывание (рис. 15).
Рис. 15
Задача 6.4. Ни одна кочерга не мягкая. Все подушки мягкие. Какой можно сделать вывод?
Решение. Нарисовав высказывания, видим, что никакой предмет не является кочергой и подушкой одновременно. Сформулировать это можно двумя способами: «Ни одна кочерга не является подушкой» или «Ни одна подушка не является кочергой» (рис. 16).
Рис. 16
Зачем математику уметь работать с абсурдными утверждениями? В естественно возникающих задачах вряд ли могут встретиться вороны, собирающие картины. Однако с посылками сомнительной истинности приходится сталкиваться постоянно. И бывает полезно заранее понять, имеет ли смысл их доказывать или опровергать. Скажем, в условии задачи дано А и требуется определить, верно ли В. Пусть нам ясно, что В следует из Б, но неизвестно, верно ли Б. Стоит ли пытаться вывести Б из А? Да, стоит: если А ⇒ Б, то В верно. Но если окажется, что Б не следует из А, то никакого вывода об истинности В сделать пока не удастся. Рассмотрим пример подобных рассуждений.
Задача 6.5. Является ли точным квадратом число:
а) 1234567; б) 10101… 01 (всего 2015 единиц и 2014 нулей); в) 20122013201420152016?
Ответ, а), б), в) Нет.
Решение, а) Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 7, не является квадратом натурального числа. Число 1234567 оканчивается на 7. Следовательно, оно не является квадратом.
Комментарий. Логически решение безупречно, но верно оно, только если верны обе посылки. Истинность второй не вызывает сомнений. Чтобы убедиться в истинности первой, достаточно поочередно возвести в квадрат все однозначные числа. А то, что последняя цифра числа полностью определяет последнюю цифру его квадрата, ясно каждому, кто умеет умножать в столбик.
б) Попробуем действовать так же и подумаем, верно ли высказывание: «Ни одно натуральное число, оканчивающееся на 1, не является точным квадратом». К сожалению, неверно. Контрпримерами служат, в частности, 1 и 81. К еще большему сожалению, из этого нельзя сделать никакого вывода, кроме того, что надо решать задачу по-другому. Рассмотрение двух последних цифр столь же бесполезно, квадрат числа вполне может оканчиваться на 01, например, 1012 = 10201. Но что такое последняя цифра? Остаток от деления на 10 (а две последние цифры – от деления на 100). Рассматривая остатки от деления на 3, приходим к такому короткому решению:
Сумма цифр данного числа равна 2015, поэтому оно дает остаток 2 при делении на 3. Но квадраты всех натуральных чисел делятся на 3 либо без остатка, либо с остатком 1. Значит, данное число не является точным квадратом.
в) В этом числе сумма цифр сразу не видна, но ее можно вычислить. Прежде чем вычислять, подумаем, зачем это надо. Если она делится на 3 с остатком 2, то схема решения та же, что и в предыдущем пункте. Нетрудно убедиться, что так оно и есть; точно вычислять сумму необязательно.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6.6. Каждый англичанин любит играть в гольф. Майкл любит играть в гольф. Можно ли наверняка утверждать, что он англичанин?
Задача 6.7. Докажите с помощью контрпримера, что вывод сделан неверно.
1) Все мои друзья – болельщики «Спартака». А некоторые болельщики «Спартака» занимаются спортом. Следовательно, некоторые мои друзья занимаются спортом.
2) Некоторые кочаны капусты – паровозы. Некоторые паровозы играют на рояле. Значит, некоторые кочаны капусты играют на рояле.
Задача 6.8. Покажите с помощью рисунка, что рассуждение верное.
1) Все крокодилы умеют летать. Все великаны являются крокодилами. Значит, все великаны могут летать.
2) Некоторые сны ужасны. Ни один ягненок не способен вызвать ужас. Следовательно, некоторые сны не ягнята.
Задача 6.9. Определите, какие из приведенных рассуждений истинны, а какие ложны.
1) Все англичане любят пудинг. Ни один француз не любит пудинг. Следовательно, ни один француз не англичанин.
2) Ни один лентяй не достоин славы. Некоторые художники – не лентяи. Следовательно, некоторые художники достойны славы.
Задача 6.10. Сделайте вывод, если это возможно:
1) Сахар сладкий. Некоторые сладкие вещи очень нравятся детям.
2) Некоторые горные кручи непреодолимы. Все заборы вполне преодолимы.
3) Гусеницы не отличаются красноречием. Джон красноречив.
4) Все шутки придуманы для того, чтобы смешить людей. Ни один закон не шутка.
5) Музыка, которую слышно, вызывает колебания воздуха. Музыка, которую не слышно, не стоит того, чтобы за нее платили деньги.
Задача 6.11. Придумайте свои примеры верных и неверных рассуждений про всех и некоторых.
Задача 6.12. В следующем рассуждении истинность исходных высказываний не вызывает сомнения. Верен ли вывод? Почему?
Все сочинения Пушкина нельзя прочитать за одну ночь. «Сказка о рыбаке и рыбке» – сочинение Пушкина. Следовательно, «Сказку о рыбаке и рыбке» нельзя прочитать за одну ночь.
Занятие 7
Доказательство от противного
Этого не может быть никогда, потому что если бы люди жили на луне, то заслоняли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастбищами.
А. П. Чехов. «Письмо к ученому соседу»
С методом доказательства от противного каждый школьник неизбежно сталкивается (неожиданно, и поэтому, порой, жестко) на уроках геометрии. Надеемся, что ученик, разобравшийся с материалом предыдущих занятий, воспримет метод от противного как естественное продолжение знакомства с логикой и будет избавлен от неуместных формальных трудностей при изучении геометрии.
Задача 7.1 служит вводным упражнением, показывающим логическую основу метода от противного. С формальной точки зрения он состоит в замене доказательства того, что из А следует Б, на доказательство того, что из «не Б» следует «не А». Как показывает задача 7.2, иногда такой простой трюк существенно облегчает задачу.
Однако настоящая мощь метода от противного проявляется при более широком его понимании. Пусть дано А, а доказать требуется Б. Предположив противное, мы получим уже два условия: А и «не Б», а с двумя условиями работать легче, чем с одним. Из них требуется получить два любых противоречащих друг другу высказывания: В и «не В». Задачи 7.2, 7.3 и 7.4 демонстрируют, что В может как совпадать с одним из условий А или Б, так и быть новым утверждением.
Иногда метод от противного удается применить при решении задач, в формулировке которых условия А и Б явно не выделены (см. задачу 7.6 и комментарий к ней). Достаточно усвоить идею «Предположим противное и поищем противоречие».
Задача на доказательство не всегда содержит слово «докажите». Иногда решающий должен сам выбрать верный ответ на вопрос типа «Можно ли…», «Существует ли…» ит. п., а потом доказать правильность ответа. Если ответ отрицательный, часто бывает удобно предположить, что он положительный, а затем прийти к противоречию. Такое рассуждение от противного применяется в задачах 7.6 и 7.11, а также ДЗЗ и Д36.
Немного рекламы.
1) Доказательство от противного порадует любителей перебора: мы просто рассматриваем все случаи (часто их всего два, но может быть и больше), исключаем приводящие к противоречию и делаем вывод, какой из случаев выполняется.
