Четыре молодых пирата, Арчи, Бен, Вилли и Глен, зарыли на острове клад. Каждый запомнил место: от старой пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север. Через много лет четыре старых пирата вернулись на остров за кладом. Как ни странно, старая пальма до сих пор уцелела! Впрочем, то, что до сих пор уцелели все четыре морских разбойника, следует признать еще более странным. Правда, несоблюдение режима дня и злоупотребление спиртными напитками не лучшим образом сказались на их памяти. И если стороны света настоящий пират не перепутает до самой смерти, то вот с числами дело обстояло куда хуже. Вот что думал каждый пират про место расположения клада:
Арчи: от пальмы 30 футов на восток, потом 120 футов на север;
Бен: от пальмы 100 футов на восток, потом 120 футов на север;
Вилли: от пальмы 30 футов на восток, потом 100 футов на север;
Глен: от пальмы 100 футов на восток, потом 100 футов на север.
Каждый отправился рыть свою яму. Пока пираты занимаются земляными работами, сравним их мнения. С одной стороны, Бен и Вилли ошиблись меньше, чем Арчи: каждый из них верно вспомнил одно из двух чисел. И, возможно, школьный учитель поставил бы Глену 5, Арчи 2, а Бену и Вилли 3 за частично верный ответ. Но при поисках клада место не может быть «частично верным»: оно указано либо верно, либо нет. И в результате Глен найдет клад, а Арчи, Бен и Вилли не найдут.
Математическая логика больше напоминает поиски клада, чем школьные оценки. Она не признает полуправды: всякое высказывание либо истинно, либо ложно. В нашем случае истинно лишь мнение Глена. Утверждения же трех пиратов, не нашедших клад, следует признать ложными.
Вообще, если высказывание составлено из двух простых высказываний, соединенных союзом «и» (или союзами «а», «а также», «но» или просто запятой), то оно:
• истинно, если истинны оба простых высказывания;
• ложно, если хотя бы одно из двух простых высказываний ложно.
Обозначив простые высказывания как А и Б, можно кратко записать это правило в виде таблицы истинности высказывания «А и Б». В этой таблице буква И означает истину, а Л – ложь.
Задача 4.1. Подберите подходящую строку в таблице истинности для высказываний каждого из 4 пиратов.
Ответ: Высказыванию Арчи соответствует четвертая строка, Бена – вторая, Вилли – третья, Глена – первая.
Задача 4.2. Какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны?
1) Утка умеет плавать и летать.
2) Курица умеет плавать и летать.
3) Камбала умеет плавать и летать.
Решение: 1) Высказывание истинно, так как составлено с помощью союза «и» из двух истинных высказываний: «Утка умеет плавать» и «Утка умеет летать». Оно соответствует первой строке таблицы истинности.
2) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из двух ложных высказываний: «Курица умеет плавать» и «Курица умеет летать». Оно соответствует четвертой строке таблицы истинности.
3) Высказывание ложно, так как составлено с помощью союза «и» из истинного высказывания «Камбала умеет плавать» и ложного «Камбала умеет летать». Оно соответствует второй строке таблицы истинности.
Комментарий. Изобразим ситуацию с помощью кругов Эйлера (см. рис. 5). Поместим в первый круг умеющих плавать, во второй – умеющих летать. Высказывание «…умеет плавать и летать» истинно для существ, находящихся в пересечении кругов, и ложно для всех остальных.
Рис. 5
Но не стоит покидать пиратов надолго. Пора вернуться на остров и посмотреть, чем они заняты. Клад пока не найден. Трое продолжают копать. И только самый сильный из них, Арчи, задумчиво сидит под пальмой. Он копал гораздо быстрее остальных и уже успел убедиться в своей ошибке. Теперь он знает, что высказывание «Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы» ложно. Это означает, что ложно хотя бы одно из двух составляющих его простых высказываний. То есть клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.
Замечание 1. Если говорить точнее, то клад находится от пальмы либо не в 30 футах к востоку, либо не в 120 футах к северу, либо и не в 30 футах к востоку, и не в 120 футах к северу. Звучит длинно и малопонятно. Для удобство математики договорились вместо «Либо А, либо Б, либо то и другое вместе» говорить короче: «А или Б». При этом подразумевается, что случай «А и Б оба выполняются» тоже возможен.
Таким образом, высказывание «А или Б»:
• истинно, если истинно хотя бы одно из составляющих его простых высказывания;
• ложно, если ложны оба составляющих его простых высказывания.
Составим для высказывания «А или Б» таблицу истинности:
Замечание 2. На самом деле значение союза «или» не всегда одинаково. Например, высказывание «Каждый сотрудник отеля владеет английским или русским языком» вполне допускает, что кто-то из сотрудников владеет обоими языками, что согласуется с таблицей истинности союза «или». А высказывание «Анкета заполняется на английском или русском языке» предполагает использование одного из двух языков, но не обоих сразу. Чтобы не путаться, при перечислении исключающих друг друга случаев договоримся вместо союза «или» использовать его синоним «либо… либо». Таблица истинности для высказывания «либо А, либо Б» выглядит так:
Задача 4.3. Какие из следующих шести высказываний истинны, а какие ложны?
1) Береза – это куст или дерево. Береза – это либо куст, либо дерево.
2) Собака – животное или камбала – рыба. Либо собака – животное, либо камбала – рыба.
3) Собака – это птица или рыба. Собака – это либо птица, либо рыба.
Решение: 1) Из двух простых высказываний «Береза – это куст» и «Береза – это дерево» первое истинно, а второе ложно. Поэтому высказывания и с союзом «или», и с союзом «либо… либо» в целом истинны, что соответствует второй строке таблицы истинности.
2) Оба простых высказывания истинны, поэтому истинно и высказывание с союзом «или». А с союзом «либо… либо» ложно: именно первыми строками и различаются их таблицы истинности.
3) Оба простых высказывания ложны, поэтому ложны и оба составных высказывания.
Задача 4.4. 1) В сказке Ганса Христиана Андерсена «Новое платье короля» обманщики пообещали, что «платье… обладает чудесным свойством становиться невидимым для всякого человека, который не на своем месте сидит или непроходимо глуп». Изобразите с помощью кругов Эйлера тех, для кого платье должно стать невидимым.
2) Вот отрывок из «Песни ткачей» Владимира Васильева:
Мы не напрасно взялись ткать,Чтоб мог народ, в конце концов,О короле сказать:
«Либо он дурак – либо не на месте,Либо не на месте – либо он дурак,Либо он дурак – либо не на месте,Либо не на месте и дурак!»
Представим, что три представителя народа высказались о короле. Первый: «Либо он дурак – либо не на месте»; второй: «Либо не на месте – либо он дурак»; третий: «Либо он дурак, либо не на месте, либо не на месте и дурак». Одинаков ли смысл трех высказываний? Какое из них наиболее точно соответствует сказке?
Ответ. 1) Область выделена на рисунке 6 серым.
Рис. 6
2) Первые двое сказали одно и то же. А третье высказывание равносильно такому: «Он дурак или не на месте». Именно оно соответствует тексту Андерсена.
А что же пираты? Клад пока не найден. Но уже ясно, как определять истинность высказываний «А и Б» и «А или Б». Можно ли научиться с помощью флибустьеров еще чему-нибудь полезному? О да! Например, строить к таким высказываниям отрицания. Собственно говоря, отрицание к высказыванию Арчи уже построено. Сравним получившиеся противоположные высказывания:
(1) Клад находится в 30 футах к востоку и в 120 футах к северу от пальмы.
(2) Клад находится от пальмы не в 30 футах к востоку или не в 120 футах к северу.
Все просто: каждое простое высказывание заменено противоположным, а связка «и» заменена на «или».
Вообще, отрицанием к высказыванию «А и Б» служит высказывание «не А или не Б».
Отрицанием к высказыванию «А или Б» служит высказывание «не А и не Б».
Последние два предложения называются законами де Моргана. Но названы они так вовсе не в честь самого знаменитого пирата Карибского моря Генри Моргана, а в честь жившего на два века позже шотландского математика Огастеса де Моргана.
Задача 4.5. Постройте отрицания к высказываниям Бена, Вилли и Глена. Какие из этих отрицаний истинны?
Решение. Сразу можно сказать, что отрицания к ложным высказываниям Бена и Вилли сами будут истинными высказываниями, а отрицание к истинному высказыванию Глена будет ложным. Вот эти отрицания:
