— Вроде, как два круга разной четности у Дразнилки Малого? — осторожно спросил Илюша.
— Похоже, но не больше… Эта функция, найденная Лагранжем, такова:
(х1 + αх2 + α2х3).
Она может принимать только два значения, поэтому появляется возможность приравнять их двум корням квадратного уравнения, что и позволяет нам построить Карданову формулу, то есть найти решение кубического уравнения. Вот как примерно через два века была выяснена сущность Кардановой формулы. Вслед за этим Лагранж рассмотрел и решение уравнения четвертой степени, которое приводится не к квадратному уравнению, а к кубическому, однако теперь это уже не страшно!
— А уж с четвертой степенью, наверно, ужасно трудно… — заметил Илюша.
— Да, не так просто! Но Лагранж и для этого уравнения нашел решение. Он вообще старался найти самый смысл решения, так сказать, ключ к этой удивительной загадке. И ему многое удалось. Он даже предполагал, что именно в перестановках весь секрет этих сложнейших дел и прячется. А потом оказалось, что это верно! Но все-таки даже и этой тонкой догадки еще было мало. Ученые бились над уравнением пятой степени, и Лагранжу с этой загадочной пятой степенью тоже ничего не удалось сделать. Он даже с горя начал поговаривать, что вообще с математикой дела плохи… Так что вы можете убедиться, что не только в средней школе с математикой огорчения случаются!
— Удивительные все-таки перестановки! Такие, мне казалось, простые…
— Сами математики долгое время не знали, какие в них таятся удивительные секреты, — отвечал Радикс, — и до чего полезные секреты! Физики, которые ныне занимаются строе-
— 455 —
нием атома, перестановкам уделяют много внимания. Алгебра теперь занимается главным образом математическими операциями и их соотношениями. Когда-то араб ал-Хорезми поругивал греческие геометрические «премудрости», расхваливая свою алгебру, которая помогает решать житейские арифметические задачи, а в разные отвлеченности, не интересные для торговой практики, не лезет. И оказалось в дальнейшем, что он жестоко ошибся! Как раз в алгебре-то и зародились самые отвлеченные разделы нашей науки. Благодаря этому развитию математика помогла физике осилить задачи, которые раньше казались совершенно недоступными.
— А как же все-таки получилось с уравнением пятой степени?
— Сейчас я разъясню, — отвечал Мнимий — Я снова прошу внимания! Здесь есть один важный и трудный пункт… Тут вот в чем дело: Лагранж, человек редкой наблюдательности и проницательности, когда стал изучать симметрические функции, довольно скоро заметил, что знать только одни симметрические функции еще не достаточно для того, чтобы решить кубическое уравнение. И что в формуле Кардана незаметно запрятан еще какой-то важный секрет, без которого смысл ее все-таки еще остается темен. В чем же тут дело? Самый трудный пункт здесь в том, что самые симметрические функции не позволяют еще отличить один корень от другого, и надо найти еще одну несимметрическую функцию корней, которая, в случае квадратного уравнения, принимает всегда одно-единственное значение (а для кубического уравнения- ровно два и не больше). Приглядитесь сами к решению квадратного уравнения. Там мы получаем две функции симметрические:
x1 + x2 = —p; x1x2 = q.
Но что с ними делать? Ведь чтобы разделить эти два корня, надо опять решать то же самое уравнение? Выходит, что мы мучались-мучались, а все равно не сдвинулись с места! Так вот, в том-то и заключается вся сила, что возможно найти еще одну функцию корней, которая уже не будет симметричной и — а это-то и есть основное! — принимает одно и только одно значение. Это и будет функция (x1 — x2), о которой мы уже говорили. А зная сумму и разность наших корней, мы их немедленно находим, и при этом из уравнения первой степени, но не второй! Теперь — готово! Степень уравнения мы понизили, все в порядке. Совершенно так же для кубического уравнения мы ищем несимметрическую (знакопеременную) функцию, принимающую только два значения. Для уравнения четвертой степени это будет несимметрическая функция
— 456 —
с тремя значениями. Но дальше уже стоит незыблемая точка. Дальше этого в уравнениях с радикалами двинуться невозможно. Подробности вы когда-нибудь узнаете из учебника высшей алгебры, а ваш милый друг Дразнилка-Малый будет вам помогать изо всех своих крохотных силенок! Не думайте, что вы случайно, на первых же шагах, с ним встретились здесь у нас — в серьезном волшебном царстве для любознательных ребят!
Вы ведь поняли, наверно, что перестановки корней — когда их всего три или четыре — обладают тем полезнейшим свойством, что с их помощью можно отыскать такую функцию корней, для которой число значений меньше числа корней данного уравнения. У кубического уравнения три корня и можно составить шесть перестановок, но можно найти такую функцию корней, которая имеет только два значения, как мы уже говорили. Уравнения четвертой степени имеет четыре корня, их можно переставлять двадцатью четырьмя способами. Есть функция, имеющая только шесть значений, но с ними можно справиться, опираясь на помощь кубического уравнения.
— То есть вроде как мы делаем в наших биквадратных уравнениях?..
— Именно в этом роде. Но вот далее нас и подстерегает разочарование. В 1799 году итальянский врач и математик Руффини, занимаясь систематическим изучением перестановок, нашел и доказал теорему, что от пяти элементов (у которых будет сто двадцать перестановок) не существует таких функций, которые имели бы четыре или три значения. А если так…
— Значит, степень уравнения нельзя понизить?.. — воскликнул Илюша.
— Выходит, — ответил Мнимий, — что дальше уж нельзя.
С уравнением пятой степени было не просто полторы тысячи неудач, а нечто более серьезное: оказалось, что в этом роде задача не только не имеет решения, но и иметь не может. В работе Руффини еще не все было очень гладко, а через сравнительно короткий срок гениальный молодой математик норвежец Абель дал безупречное доказательство положениям Руффини. Затем Абель нашел еще новые подробности насчет алгебраических уравнений. Коротко это можно так изложить: если уравнение таково, что между его корнями существуют некоторые сравнительно несложные отношения, его можно решить в радикалах. Но, к сожалению, для уравнений выше четвертой степени такие свойства имеют многие отдельные виды уравнений, но отнюдь не все. Вскоре этой задачей занялся гениальный юный француз Эварист Галуа, погибший
— 457 —
на поединке с наемным убийцей, подосланным подлой полицией тогдашнего реакционного французского правительства. В ночь перед трагической гибелью юный математик набросал свою работу. А она увидела свет только через четырнадцать лет после того, как ранняя могила поглотила этого замечательного юношу. Ему было всего двадцать лет…
— А его работа была очень сложная?
— Даже весьма сложная! — отозвался Мнимий. — Многие вопросы и решения снова оказались связанными с той же самой симметрией, но в еще более хитроумном виде по сравнению с тем, о чем мы уже говорили. Введены были и некоторые новые крайне важные общие понятия, сыгравшие свою роль не только в алгебре, но обогатившие и другие разделы нашей науки. Самый процесс постепенного упрощения уравнений был изучен во всей сложности. Для целого ряда, казалось бы, неодолимых препятствий были придуманы обходные хитрые пути, а затем и они сами подверглись исследованию, изучению, так что весь этот раздел математики сам превратился в исследование того, как именно строятся методы решения задач и на чем они в сущности своей основаны. Методы Галуа дали результаты удивительные и неожиданные: если мы сейчас не только убедились на опыте, но и знаем, что с помощью линейки и циркуля невозможно решить кубическое уравнение, то доказано это было в точности только после Галуа. Уравнения любой степени, у которых все коэффициенты при неизвестном в любой степени вплоть до нулевой (то есть, значит, до свободного члена) равны единице — а это и есть общее уравнение деления круга (с одним из них мы познакомились в предыдущей схолии), — всегда решаются, потому что они могут быть сведены к целой цепи уравнений низших степеней. Это опять же до конца разъясняется тем же Галуа. Однако я могу привести только отдельные примеры, хотя и они очень убедительны. В этом направлении наука сделада гигантские шаги. И чем дальше ученый забирается в глубь строения своих методов, тем меньше ему служит то, что можно сразу охватить наглядно. Поэтому вопросы рассуждения, то есть логики, получают все большее и большее значение. Ну вот! Это приблизительно все, что мы способны вам рассказать из этой удивительной, но крайне трудной и весьма отвлеченной области науки[40].
