Везде, где появляются логарифмы, — от шкалы Рихтера для определения магнитуды землетрясений до коэффициента кислотности рН, — они становятся замечательными «уплотнителями». Логарифмы идеально подходят для величин, изменяющихся в широком диапазоне, и сжимают их, чтобы они стали более управляемыми. Например, 100 и 100 000 000 отличаются в миллион раз — эту пропасть большинство из нас даже не может вообразить. Но их логарифмы разнятся всего в четыре раза (равны 2 и 8, так как 100 = 102 и 100 000 000 = 108). Когда мы разговариваем о заработной плате, то используем грубую версию логарифмической краткости, определяя заработную плату в интервале между 100 000 и 999 999 долларов шестью цифрами. Эта «шестерка» является приблизительным логарифмом этих сумм заработной платы, которые на самом деле находятся в диапазоне от 5 до 6.
Поскольку только инструменты математика могут сделать так впечатляюще много, как описанные функции, возможно, именно поэтому я до сих пор не собрал купленные книжные шкафы.
Часть III. Фигуры
12. Танец квадратов
Спорим, я смогу угадать ваш любимый раздел математики в средней школе?
Это геометрия. Правильно?
Столько из встреченных мной за эти годы людей говорили мне о своей любви к этому предмету. Вместе с тем, скольких образно мыслящих людей, у которых лучше развито правое полушарие, используемое при занятиях геометрией, отпугнула ее холодная логика? Наверное, многих. Но некоторые признавались, что любят геометрию именно за ее логичность. Математическое доказательство каждой новой теоремы представляет собой цепочку логических следствий из уже ранее доказанных теорем. Таким образом, при доказательстве теоремы оно сводится к ранее доказанному, что для многих становится источником вдохновения.
Но лучшая моя догадка (и откровенное признание, почему лично я люблю геометрию) заключается в том, что люди наслаждаются этой наукой, потому что она замужем за логикой и интуицией. Она хорошо себя чувствует, когда мы используем оба полушария мозга.
Чтобы проиллюстрировать, какое удовольствие можно получить от геометрии, снова обратимся к теореме Пифагора, которую вы, наверное, помните в виде равенства a2 + b2 = c2. Здесь я преследую две цели: убедиться, что она верна, и оценить ее значение. Помимо этого, рассмотрев два ее различных доказательства, мы сможем воочию убедиться, что они могут быть не только правильными, но и элегантными.
Теорема Пифагора относится к прямоугольному треугольнику, то есть к треугольнику, один из углов которого равен 90°. Такие треугольники интересны тем, что их можно получить, разрезав прямоугольник по диагонали на две равные части:
А так как в условиях различных задач прямоугольники не редкость, то, соответственно, и прямоугольные треугольники тоже. Например, они встречаются в геодезии.
Измеряя поле прямоугольной формы, вы, возможно, захотите узнать расстояние по диагонали от одного угла до противоположного. (Кстати, в начале своего существования геометрия применялась именно при измерении площади земельного участка, то есть в измерении земли: geo — земля, а metr — измерение.)
Теорема Пифагора[57] указывает, какова длина диагонали по сравнению со сторонами прямоугольника. Если одна сторона имеет длину a, а другая — b, то теорема утверждает, что длиной диагонали будет с, где
a2 + b2 = c2.
Почему-то самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой[58], хотя я никогда не встречал никого, кто знает историю происхождения этого термина. (Может, какой-нибудь древнеримский или греческий ученый?)
Посмотрим, как работает теорема Пифагора. Для этого в выражение a2 + b2 = c2 подставим числа. Пусть a = 3 ярдам и b = 4 ярдам. Тогда, чтобы определить неизвестную длину стороны c, мы надеваем черные капюшоны и читаем нараспев: с2 — это сумма 32 и 42, что равно 9 и 16. (Имейте в виду, что все величины теперь измеряются в квадратных ярдах, так как мы возводим в квадрат не только сами числа, но и ярды.) Так как 9 + 16 = 25, то с2 = 25 квадратным ярдам. Далее извлекаем квадратные корни из обеих частей уравнения и получаем длину гипотенузы с = 5 ярдов.
Такой подход к теореме Пифагора создает впечатление, что в ней говорится о длине сторон треугольника. Хотя традиционно считается, что в ней идет речь о площадях. Это становится очевидным, если посмотреть, как Пифагор ее сформулировал.
Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.
Обратите внимание на слова «построенный на». Мы не говорим о квадрате гипотенузы — это новомодная алгебраическая концепция об умножении длины гипотенузы саму на себя. Нет, мы здесь имеем в виду некий квадрат, «сидящий» на гипотенузе примерно вот так:
Давайте назовем его большим квадратом, чтобы отличить от малого и среднего, которые можно построить на двух других сторонах:
Теперь теорема утверждает, что большой квадрат имеет такую же площадь, как малый и средний, вместе взятые.
На протяжении тысяч лет этот чудесный факт подтверждался следующей диаграммой, представляющей мнемоническую символьную схему танца квадратов:
Рассматривать теорему с точки зрения площадей квадратов весьма приятно. Например, построив квадраты из множества маленьких крекеров[59], вы можете сначала эмпирическим путем проверить верность теоремы, а затем съесть их. Или можно представить теорему как детскую головоломку, состоящую из пазлов различной формы и размера. Путем их перестановки теорему очень легко доказать.
Давайте вернемся к наклоненному квадрату, сидящему на гипотенузе.
Интуитивно это изображение должно немного смущать. Квадрат выглядит потенциально нестабильным: кажется, что он может свалиться или съехать вниз по наклонной плоскости. А тут еще явное самоуправство: каждая из его четырех сторон хочет соприкасаться с треугольником.
Чтобы усмирить все стороны квадрата, поместим еще три таких же треугольника на три его оставшиеся стороны так, чтобы получилась более устойчивая и симметричная картинка.
Теперь вспомним, что мы пытаемся доказать, что наклоненный белый квадрат (большой квадрат, все еще сидящий на гипотенузе) имеет такую же площадь, как малые и средние квадраты, вместе взятые. Но где же здесь другие квадраты? Чтобы найти их, надо переместить часть треугольников. Представьте картинку как изображение головоломки. В углах ее жесткой рамки вставлены четыре кусочка треугольной формы.
При такой интерпретации наклоненный квадрат будет свободным пространством в середине головоломки. Оставшуюся часть внутри рамки занимают пазлы. Попробуем их подвигать. Конечно, что бы мы ни делали, мы никогда не сможем изменить общую площадь свободного пространства внутри рамки — оно всегда будет областью, лежащей вне пазлов.
После небольшого мозгового штурма переставим пазлы таким образом:
Пустое пространство неожиданно принимает форму среднего и малого квадрата, которые мы ищем. А так как общая площадь свободного пространства неизменна, вот мы и доказали теорему Пифагора!
Это доказательство дает гораздо больше, чем уверенность в правильности теоремы, — оно ее разъясняет. И именно это делает его элегантным.
Для сравнения рассмотрим еще одно доказательство. Не менее знаменитое, и, пожалуй, самое простое из тех, где не используются площади.
Как и прежде, возьмем прямоугольный треугольник со сторонами a, b и гипотенузой с, как показано ниже на рисунке слева.
Далее (как что-то подсказывает нам по божественному вдохновению или благодаря собственной гениальности) проведем перпендикуляр вниз от гипотенузы к противоположному углу, как это сделано в правом треугольнике.
Эта маленькая умная «бестия» внутри исходного треугольника создает еще два меньших треугольника. Легко доказать, что все они подобны, то есть у них одинаковая форма, но различные размеры. Что, в свою очередь, означает, что длина их соответствующих сторон имеет подобные пропорции. Это можно записать в виде следующей системы равенств:
