По мере вращения колеса обозрения угол a будет постепенно увеличиваться и в конце концов превысит 90°, и с этого момента мы больше не сможем его рассматривать как угол прямоугольного треугольника. Означает ли это, что тригонометрию далее нельзя применять?
Нет. Испугавшись, как обычно, математики просто расширили область определения синусоидальной функции до любого угла, а не только для углов менее 90°, а затем представили sin a как высоту расположения девочки выше или ниже центра круга.
График sin a продолжает расти, а затем убывать (и даже становится отрицательным) — это то, что мы подразумеваем под синусоидой. Такие колебания повторяются на протяжении каждых 360°, что соответствует полному обороту.
Такой способ трансформации кругового движения в синусоиду часто встречается в повседневной жизни, хотя не всегда заметен для нас. Гул люминесцентных ламп над головой в наших офисах напоминает, что где-то в энергосистеме генераторы вращаются со скоростью 60 оборотов в секунду, преобразуя свое вращательное движение в переменный ток, то есть в электрические синусоидальные волны, от которых во многом зависит современная жизнь. Когда вы говорите, а я вас слушаю, органы наших тел используют синусоиды: вашего — при генерации звука путем вибраций голосовых связок, а моего — посредством колебаний волосков в ушах, принимающих звуки голоса. Если мы откроем наши сердца этим синусоидам и настроимся на их молчаливый напев, то у них появится сила сдвинуть нас. В этом есть нечто мистическое.
Когда рвется гитарная струна или дети крутят скакалку — во всех этих случаях проявляются синусоиды. Круги на поверхности пруда, гребни дюн, полосы зебры — все это отражение основного механизма формирования закономерностей природы[72], появления синусоидальной структуры на основе повторяемости.
Эти явления обусловлены существованием глубинных математических механизмов. Всякий раз, когда по какой-то причине теряется устойчивость некоего состояния равновесия в физических, биологических или химических процессах, первыми появляются синусоиды или их сочетания.
Синусоиды — это атомы структуры. Они — блоки мироздания природы. Без них не было бы ничего, что придавало бы новый смысл латинскому выражению sine qua non — это «непременное условие».
Действительно, эти слова верны в буквальном смысле. Квантовая механика описывает реальные атомы и, следовательно, всю материю в виде волновых пакетов. Даже в космических масштабах синусоиды представляют собой семена всего сущего. Астрономы исследовали спектр (рисунок синусоидальных волн) космического микроволнового фонового излучения[73] и обнаружили, что эти измерения соответствуют предсказаниям инфляционной космологии[74] — одной из теорий рождения и развития Вселенной. Таким образом, похоже, изначальная синусоида, волнистость в плотности материи и энергии, возникла без Большого взрыва, спонтанно, и породила материю космоса — а также звезды, галактики. И в конечном счете, маленьких детей, катающихся на колесе обозрения.
16. Идти до предела
В средней школе мы с друзьями обожали разгадывать классические головоломки. Что произойдет, если непреодолимая сила встретит неподвижный объект? Легко! Они взрываются. Обычная философия для тринадцати лет.
Но одна загадка долго волновала нас. Если вы продолжаете двигаться, находясь на полпути к стене, вы когда-нибудь до нее дойдете? Как-то очень грустно было думать, что ты все ближе и ближе к цели и все же никогда до нее не доберешься. (Наверное, это и есть метафора подростковой тоски по необъяснимому.) Еще одной проблемой было завуалированное присутствие бесконечности. Чтобы добраться до этой стены, следовало сделать бесконечное число шагов, и в конце они были бы бесконечно малой длины. Ух ты![75]
Вопросы, подобные этому, всегда вызывали головную боль. Около 500 года до н. э. Зенон Элейский[76] сформулировал четыре парадокса бесконечности, которые озадачили его современников, что, возможно, отчасти послужило причиной изгнания данного понятия из математики на столетия. Например, в евклидовой геометрии рассматривалось только конечное число шагов. Считалось, что бесконечность неопределенна и непознаваема, и ее трудно сделать логически упорядоченной.
Но Архимед, величайший математик античности, осознал мощь бесконечности. Он заставил ее решать задачи, которые в противном случае были бы нерешаемы, и в процессе движения к бесконечности приблизился к изобретению интегрального исчисления — почти за 2000 лет до Ньютона и Лейбница.
В следующих главах мы рассмотрим великие идеи, лежащие в основе исчисления бесконечно малых. Но сейчас я хотел бы начать с первой из красивых идей, встречающихся у древних при вычислении площади круга и числа π.[77]
Давайте вспомним, что мы подразумеваем под «пи». Это отношение двух расстояний, где одно — диаметр (отрезок между наиболее удаленными точками окружности, проходящий через ее центр), а другое — длина окружности. «Пи» (π) определяется как отношение длины окружности к ее диаметру.
Если вы вдумчивый исследователь, то вас уже кое-что должно насторожить. Откуда мы знаем, что π имеет одинаковое значение для любых окружностей? Может быть, оно различно для больших и маленьких кругов? Ответ на этот вопрос отрицательный, но его доказательство не тривиально. Вот вам интуитивный аргумент.
Представьте, что с помощью ксерокса вы уменьшаете изображение круга, скажем, на 50 %. Тогда все расстояния на рисунке, в том числе длина окружности и ее диаметр, тоже уменьшатся на 50 %. Итак, когда вы разделите длину новой окружности на ее диаметр, уменьшение на 50 % нейтрализуется, и их соотношение останется неизменным. Оно и составляет π.
Конечно, здесь мы не сможем узнать величину π. Простые эксперименты с веревкой и блюдом достаточно хороши, чтобы получить значение около 3 или, если вы хотите более точный результат, 3. Но, предположим, надо найти значение π точно или приближенно, но с любой желаемой точностью. Что тогда? Эта проблема приводила древних в замешательство.
Прежде чем перейти к блестящему решению Архимеда, я должен упомянуть еще об одном случае, когда π появляется в связи с кругами. Площадь круга (размер пространства внутри него) вычисляется по формуле
A = πr2,
где A — площадь круга, π — греческая буква пи, а r — радиус окружности, определяемый как половина диаметра.
Все мы помним эту формулу из средней школы, но откуда она взялась? На уроках геометрии она обычно не доказывается. Если бы мы делали вычисления по ней, то, наверное, смогли бы найти доказательство. Но так ли уж необходимы вычисления, чтобы доказать ее?
Да, необходимы.
Задачу осложняет то, что эти фигуры имеют округлую форму. Если бы они были прямоугольными, проблемы бы не существовало. Найти площади треугольников и прямоугольников легко. А работать с такими изогнутыми формами, как круги, — трудно.
С математической точки зрения можно допустить, что изогнутая форма состоит из большого числа небольших прямоугольных отрезков. Это, конечно, не совсем так, но работает — при условии, что вы доведете их количество до предела, представив бесконечно много бесконечно малых частей. Это важнейшая идея всех вычислений.
Вот один из способов определить площадь круга. Начните с разбиения области на четыре равные части и переставьте их таким образом.
Странная форма с фестонами снизу имеет такую же площадь, как и круг, хотя это построение может показаться бесполезным, так как нам неизвестна площадь ее сегментов. Но по крайней мере мы знаем две важные вещи. Во-первых, две нижние дуги имеют общую длину, равную половине длины окружности исходного круга (потому что другая половина окружности приходится на две дуги сверху). Поскольку длина всей окружности в π раз больше диаметра, то ее половина в π раз больше половины диаметра, то есть радиуса r. Вот почему на рисунке показано, что πr — суммарная длина дуг фестонов в нижней части фигуры. Во-вторых, прямые стороны кусочков имеют длину r, так как каждая из них первоначально была радиусом окружности.
Далее повторим все описанные действия, но на этот раз уже с восемью отрезками круга.
Теперь фигура приобрела менее странную форму. Дуги сверху и снизу по-прежнему существуют, но они не столь ярко выражены. Еще одно усовершенствование: левая и правая стороны изогнутой фигуры стали более вертикальными, чем раньше. Несмотря на все изменения, два факта остаются постоянными: дуги внизу по-прежнему имеют длину πr, а каждая сторона — длину r. И конечно, площадь фигуры та же — это площадь исходного круга, так как это просто фигура, составленная из восьми частей круга.
