(a) A = (A ∩ BC) ∪ (A ∩ B),
(b) B = (B ∩ U) ∪ (A ∩ B),
(c) АС ∩ (AС ∪ U)С = Ø,
(d) (AC ∪ BC) ∪ (A ∩ B) = U,
(e) A ∩ BC ∩ C = (A ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC).
Заменим все ∩, ∪,Ø и U в каждом равенстве и получим двойственные равенства:
(a) A = (A ∪ BC) ∩ (A ∪ B),
(b) B = (B ∪ Ø) ∩ (A ∪ B),
(c) АС ∪ (AС ∩ U)С = U,
(d) (AC ∩ BC) ∩ (A ∪ B) = Ø,
(e) A ∪ BC ∪ C = (A ∪ C) ∪ (AC ∩ BC ∩ CC).
1.17. Пусть имеются множества А, В, С и пусть универсальное множество U = A ∪ B ∪ C. Доказать следующие равенства:
(a) A ∩ B ∩ CС = (A ∩ В)(A ∩ B ∩ C),
(b) A ∩ BC ∩ C = (A ∩ C)(A ∩ B ∩ C),
(c) AC ∩ B ∩ C = (B ∩ C)(A ∩ B ∩ C),
(d) AC ∩ BC ∩ CС= Ø,
(e) AС ∩ BС ∩ C = AС ∩ ВС,
(f) AC ∩ B ∩ CС= AС ∩ СС,
(g) A ∩ BC ∩ CС= BС ∩ СС,
(h) A ∩ B ∩ C = (A ∩ В)(А ∩ В ∩ СС).
(a) Преобразуем правую часть равенства
(A ∩ В)(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ В) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) = тождество упражнения 1.13.
= (A ∩ В) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (A ∩ B ∩ АC) ∪ (A ∩ B ∩ ВС) ∪ (A ∩ B ∩ CC) = дистрибутивность
= Ø ∪ Ø ∪ (A ∩ B ∩ CC) = по закону дополнения
= A ∩ B ∩ CC по закону тождества.
(b) (A ∩ C)(A ∩ B ∩ C) = (A ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (A ∩ C ∩ АC) ∪ (A ∩ C ∩ ВС) ∪ (A ∩ C ∩ CC) =
= Ø ∪ (A ∩ C ∩ BC) ∪ Ø = A ∩ B ∩ CC.
(c) (B ∩ C)(A ∩ B ∩ C) = (B ∩ C) ∩ (AC ∪ BC ∪ CC) =
= (B ∩ C ∩ АC) ∪ (B ∩ C ∩ ВС) ∪ (B ∩ C ∩ CC) =
= (B ∩ C ∩ АC) ∪ Ø ∪ Ø = AC ∩ B ∩ C.
(d) AC ∩ BC ∩ CС = (A ∪ B ∪ C)C = по закону де Моргана
= (U)C = Ø. замена и дополнение
(e) AС ∩ ВС = (AС ∩ ВС) ∩ (С ∪ CC) = поскольку (С ∪ CC) = U
= (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ ВС ∩ С) ∪ Ø = = (AС ∩ ВС ∩ С).
(f) AС ∩ СС = (AС ∩ CС) ∩ (B ∪ BC) = поскольку (B ∪ BC) = U
= (AС ∩ В ∩ СC) ∪ (AС ∩ ВС ∩ СC) = (AС ∩ В ∩ СC) ∪ Ø = = (AС ∩ В ∩ СC).
(g) BС ∩ СС = (BС ∩ CС) ∩ (A ∪ AC) = поскольку (A ∪ AC) = U
= (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ (AСВС ∩ СC) = (A ∩ ВC ∩ СC) ∪ Ø = = (A ∩ ВC ∩ СC).
(h) (A ∩ В)(А ∩ В ∩ СС) = (A ∩ В) ∩ (А ∩ В ∩ СС)С = тождество упражнения 1.13.
= (A ∩ В) ∩ (AС ∩ ВС ∩ С) = (А ∩ В ∩ АC) ∪ (А ∩ В ∩ ВС) ∪ ∪ (А ∩ В ∩ C) =
= Ø ∪ Ø ∪ (A ∩ B ∩ CC) = по закону тождества
= A ∩ B ∩ C.
1.18. Доказать, что для заданного универсального множества U и любого множества А ⊆ U дополнение этого множества АС единственно.
Для доказательства используем стандартный математический подход, применяемый при доказательстве единственности. Предположим, что существует два различных дополнения для А и обозначим их как А1c и А2c. Тогда каждое из них должно удовлетворять условиям дополнения
А1c ∩ А = А2c ∩ А = Ø и А1c ∪ А = А2c ∪ А = U.
Поэтому
А1c = А1c ∩ U = А1c ∩ (А2c ∪ А) = по закону дистрибутивности
= (А1c ∩ А2c) ∪ (А1c ∩ А) = по закону дополнения
= (А1c ∩ А2c) ∪ Ø = по закону тождества
= А1c ∩ А2c.
Отсюда следует, что каждый х ∈ А1c является также и элементом
А1c ∩ А2c и из этого следует, что А1c является подмножеством А1c ∩ А2c, т. е. А1c ⊆ А1c ∩ А2c, но поскольку А1c ⊆ А2c по определению, то тогда А1c ⊆ А2c.
Пусть теперь
А2c = А2c ∩ U = А2c ∩ (А1c∪ А) =
Выполнив преобразования, как и в первом случае, получим
= А1c ∩ А2c, т. е. А2c ⊆ А1c, но из этого следует, что
А1c = А2c = АС.
Итак, мы предположили, что существует два дополнения, а затем показали, что они совпадают, и это доказывает единственность дополнения множества А.
1.19. Известно, что для чисел операция равенства является транзитивной, т. е. если a = b и b = c, то из этого следует, что a = c. Свойство транзитивности во многих случаях оказывается очень полезным. Например, если необходимо знать, равны ли все три числа a, b и c, то достаточно проверить равенство только двух любых пар, допустим a = b и b = c, третье равенство a = c можно не проверять – оно будет выполнено в силу транзитивности. Однако если рассматривать операцию ≠, то транзитивность не выполняется. Например, a = 2, b = 3, c = 2 и тогда a ≠ b, b ≠ c, но a = c. Для множеств также операция включения множеств А ⊆ В транзитивна, но операция ⊄ не является транзитивной. Доказать, что если А ⊄ В и В ⊄ С, то из этого не следует А ⊄ С.
Для доказательства достаточно рассмотреть следующий случай. Пусть А и В непустые непересекающиеся множества, и пусть А = С. Тогда А ⊄ В и В ⊄ С, но А ⊆ С.
1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:
