1.20. Для любых множеств А, В и С доказать ложность следующего утверждения:
если A ∪ B = B ∪ C, то А = В.
Если С непустое множество, С = А и множество В = Ø, тогда А ∪ Ø = Ø ∪ С и А ≠ В.
1.21. Пусть А, В и С непустые попарно пересекающиеся подмножества U. Доказать ложность следующих утверждений:
(a) если А ⊆ (В ∩ С), то неверно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С;
(b) если А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С, то тогда А ⊆ (В ∩ С);
(c) если А ⊆ (В ∩ С), то А ∩ В ≠ А ∩ С.
(a) Если А ⊆ (В ∩ С), то по определению пересечения А ⊆ В, А ⊆ С, но из этого следует, что А ∩ В = А и А ∩ С = А, т. е. А ∩ В = А ∩ С = А, и, значит, верно, что А ∩ В ⊆ В ∩ С и А ∩ С ⊆ В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(b) Для доказательства рассмотрим следующие множества. Пусть А = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, C = {3, 4, 5}. Найдем
А ∩ В = {3}, В ∩ С = (3, 4, 5}, А ∩ С ={3}. Здесь оба пересечения и А ∩ В и А ∩ С включаются в В ∩ С, но множество А не включается в В ∩ С. Поэтому исходное утверждение ложно.
(c) Если А содержится в В ∩ С, то по определению операции пересечения оно сдержится и в В, и в С. Но если А содержится в В, то пересечением А ∩ В будет множество А. Поскольку А содержится в С, то пересечением А ∩ С также будет множество А. Значит, оба множества и А ∩ В и А ∩ С состоят из одних и тех же элементов и поэтому они равны, т. е. А ∩ В = А ∩ С.
1.22. Доказать, что операция разности множеств не ассоциативна, т. е.
(АВ)С ≠ А(ВС).
Преобразуем левую часть неравенства:
(АВ)С = (А ∩ ВС)С = (А ∩ ВС) ∩ СС = А ∩ ВС ∩ СС.
Преобразуем правую часть:
А(ВС) = А(В ∩ СС) = А ∩ (В ∩ СС)С = А ∩ (ВС ∪ С) = = (А ∩ ВС) ∪ (А ∩ С) = (А ∩ ВС) ∩ (С ∪ СС) ∪ (А ∩ С) ∩ (В ∪ ВС) =
= (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ С)
= (А ∩ ВС ∩ С) ∪ (А ∩ ВС ∩ СС) ∪ (А ∩ В ∩ С).
Множество левой части не совпадает с множеством правой части, и это доказывает, что операция разности множеств не ассоциативна.
1.23. Доказать, используя элементный метод, что если А, В и С подмножества универсального множества U и если А ⊆ В, то ВС ⊆ АС.
Пусть А, В и С подмножество универсального множества U. Рассмотрим любой элемент х ∈ ВС. По определению дополнения ВС ∩ В = Ø, поэтому если х является элементом ВС, то он не может быть элементом В, т. е. х ∉ В. Элемент х также не может принадлежать и множеству А, поскольку А ⊆ В, т. е. х ∉ А, но тогда х ∈ АС. Таким образом, показано, что для любого элемента х из множества ВС этот элемент принадлежит и множеству АС, т. е. ВС ⊆ АС.
1.24. Доказать, используя элементный метод, что если А ⊆ В, то
(a) А ∩ С ⊆ В ∩ С,
(b) А ∪ С ⊆ В ∪ С.
(a) Пусть х ∈ А ∩ С. Тогда х ∈ А и х ∈ С и поскольку А ⊆ В, то х ∈ В. Из того, что х принадлежит и В и С, следует, что он принадлежит их пересечению х ∈ В ∩ С. Это означает, что для любого х, входящего в множество А ∩ С, элемент х входит и в множество В ∩ С, т. е. А ∩ С ⊆ В ∩ С.
(b) Поскольку А ⊆ В, то ВС ⊆ АС (задача 1.23). Тогда для любого множества СС его пересечение с ВС будет включаться в его пересечением с АС (потому что нет ни одного элемента ВС, входящего в пересечение ВС ∩ СС и не являющегося элементам АС, но ВС ∩ СС могут быть элементы из АС, не являющиеся элементами ВС), т. е. ВС ∩ СС ⊆ АС ∩ СС. Затем, снова применяя результат задачи 1.23, получим, что (АС ∩ СС)С ⊆ (ВС ∩ СС)С. По закону де Моргана получим А ∪ С ⊆ В ∪ С, что и доказывает искомый результат.
1.25. Дано множество А = {1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}. Какие из приведенных ниже семейств множеств являются разбиениями:
(a) {{1, 2, 3}, {2, 4, 5}, {6, 9}, {7, 8}},
(b) {{1, 3, 5}, { 7, 6}, {2, 4, 8, 9}},
(c) {{1, 2}, {3, 5, 6, 7}, {4, 8, 9}, {1, 2}},
(d) {{1, 2}, {3, 4, 5}, {7, 8}, {9}}.
(a) Не разбиение, потому что элемент 2 входит в {1, 2, 3} и {2, 4, 5}.
(b) Разбиение, потому что каждый элемент А принадлежит точно одному блоку.
(c) Разбиение, потому что можно игнорировать факт, что {1, 2} встречается дважды.
(d) Не разбиение, потому что нет элемента 6.
1.26. Пусть А и В непересекающиеся множества. Обозначим через Sa разбиение множества А, а через Sb – разбиение множества В. Доказать, что Sa ∪ Sb является разбиением множества А ∪ В.
Конец ознакомительного фрагмента.
