В «классическом» математическом анализе основным объектом изучения являются непрерывные функции , заданные на (конечных или бесконечных) интервалах и обладающие более или менее высокой степенью гладкости. Однако уже со 2-й половины 19 в. развитие математики всё настоятельнее стало требовать систематического изучения функций более общего типа. Основной причиной этого является то, что предел последовательности непрерывных функций может быть разрывен. Иными словами, класс непрерывных функций оказывается незамкнутым относительно важнейшей операции анализа — предельного перехода. В связи с этим функции, определяемые при помощи таких классических средств, как тригонометрические ряды, часто оказываются разрывными или недифференцируемыми. По той же причине могут быть разрывны производные непрерывных функций и т.п. Наконец, дифференциальные уравнения, возникающие при рассмотрении физических задач, иногда не имеют решений в классе достаточно гладких функций, но имеют их в более широких классах функций (если надлежащим образом сообщить само понятие решения). Весьма важно, что именно эти обобщённые решения (см. Обобщённые функции ) и дают ответ на исходную физическую задачу. Эти и аналогичные им обстоятельства стимулировали создание Ф. т. действительного переменного.
Отдельные частные факты Ф. т. действительного переменного были открыты ещё в 19 в. (существование рядов непрерывных функций с разрывной суммой, примеры нигде не дифференцируемых непрерывных функций, не интегрируемых функций и т.п.). Однако эти факты воспринимались обычно как «исключения из правил» и не объединялись никакими общими схемами. Лишь в начале 20 в., когда в основу изучения функций были положены методы множеств теории , стала развиваться систематически современная Ф. т. действительного переменного.
Можно различить три направления в Ф. т. действительного переменного.
1) Метрическая Ф. т., где свойства функций изучаются при помощи меры (см. Мера множества ) тех множеств, на которых эти свойства имеют место. В метрической Ф. т. с общих точек зрения изучаются интегрирование и дифференцирование функций (см. Интеграл , Дифференциал , Производная ), различными способами обобщается понятие сходимости функциональных последовательностей, исследуется строение разрывных функций весьма широкого типа и т.п. Важнейшим классом функций, изучаемым в метрической Ф. т., являются измеримые функции .
2) Дескриптивная Ф. т., в которой основным объектом изучения является операция предельного перехода (см. Бэра классификация ).
3) Конструктивная Ф. т., изучающая вопросы изображения произвольных функций при помощи надлежащих аналитических средств (см. Приближение и интерполирование функций ).
О Ф. т. комплексного переменного см. Аналитические функции .
Лит.: Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. — Л., 1948; Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 4 изд., М., 1976.
Функционал
Функциона'л, математический понятие, первоначально возникшее в вариационном исчислении и означающее там переменную величину, зависящую от функции (линии) или от нескольких функций. Примерами Ф. являются площадь, ограниченная замкнутой кривой заданной длины, работа силового поля вдоль того или иного пути и т.д. С развитием функционального анализа термин «Ф.» стал пониматься в более широком смысле, а именно: как числовая функция, определённая на некотором линейном пространстве. См. Функциональный анализ .
Функционализм
Функционали'зм, направление в зарубежном зодчестве 20 в., основанное на утверждении первичности функции (утилитарно-практические назначения) произведения архитектуры по отношению к его форме.
Во 2-й половине 19 в. принцип целесообразной формы, соединённой с этическим принципом правдивости выражения назначения и конструкции здания, был противопоставлен эклектизму , выявившему характерное для буржуазной культуры расщепление эстетического и утилитарного начал (на что указывали, в частности, английский критик Дж. Рескин и английский писатель, теоретик и дизайнер У. Моррис). Идеи целесообразной архитектуры развивались под влиянием теорий естественных наук (прежде всего эволюционной теории Ч. Дарвина). Природа стала рассматриваться как источник образцов совершенного приспособления формы к её назначению (американский скульптор и теоретик искусства Х. Гриноу и др.).
Систему идей американского «протофункционализма» конца 19 в. завершил архитектор Л. Г. Салливен . В США эти идеи не получили непосредственные продолжения; лишь Ф. Л. Райт развивал на их основе теорию органической архитектуры .
Выдвинутая Салливеном формула «форму определяет функция» в середине 1920-х гг. была подхвачена западно-европейскими архитекторами, сторонниками рационализма , полемически упростившими её содержание, сведя его к первичности утилитарного по отношению к эстетическому. Основанные на этой формуле принципы функциональности разрабатывались и пропагандировались Ле Корбюзье во Франции, а наиболее последовательно — архитекторами, связанными с «Баухаузом» в Германии (В. Гропиус, Л. Мис ван дер Роэ, Х. Мейер и др.). Идеи целесообразного конструирования жизненной среды связывались с социальной утопией «жизнестроительства», создания материальных форм, которые могли бы способствовать «разумному преобразованию» капиталистического общества.
На структуру построек переносился принцип построения механизма; здания расчленялись в точном соответствии с последовательностью функциональных процессов, для которых они предназначались. Функции при этом анализировались на основе методов научной организации труда, в духе тейлоризма . Принцип зонирования территории с выделением особого пространства для каждой из главных жизненных функций (их определяли так: «жить, работать, отдыхать, передвигаться») был перенесён и в область градостроительства. Рассудочные методы архитектурного творчества были доведены до крайней механистичности немецкими архитекторами, работавшими в конце 1920-х гг. в области муниципального жилищного строительства (Э. Май, Б. Таут, М. Вагнер).
Под влиянием конструктивизма , представители которого решали задачи, во многом родственные поискам ведущих мастеров Ф., в творчестве западно-европейских архитекторов, связанных с Ф., во 2-й половине 1920-х гг. развивались демократические тенденции и элементы трезвого социального анализа. В условиях экономических трудностей конца 1920-х гг. идеи Ф. получили популярность у предпринимателей, их утопические идеи использовались социал-реформистскими политиками, но элементы социальной прогрессивности выхолащивались. Ф. утвердился во всех странах Западной Европы, а также в США и Японии. Однако наряду с распространением вширь он терял черты творческого метода, преобразуясь в некий «международный стиль», оперировавший внешними атрибутами целесообразной формы. Стремясь укрепить веру в трезвую целеустремлённость направления, приверженцы и стали называть его «Ф.» (швейцарский теоретик архитектуры З. Гидион внедрил этот термин как характеризующий всё «нетрадиционное» зодчество 1920—30-х гг.).
Повсеместное, не зависящее от условий среды и климата насаждение форм и приёмов, возникших в конкретных условиях Германии и Франции, вело к противоречиям с самим принципом рационального подхода к архитектуре. Архитекторы Финляндии (А. Аалто и др.), Швеции (С. Маркелиус и др.) уже в 1930-е гг., опираясь на метод Ф., стали разрабатывать приёмы, отвечающие национальной специфике своих стран. Это положило начало развитию региональных архитектурных школ, развивавшихся в рамках Ф., «международный стиль» стал распадаться. Разочаровавшись в иллюзиях «великой социальной миссии архитектуры», объединявших зачинателей Ф., его приверженцы стали отходить от анализа социальных проблем, что ещё более подрывало позиции Ф.
После 2-й мировой войны 1939—45 влияние архитектуры Ф. возродилось при восстановлении разрушенных городов, однако единство «международного стиля» распалось окончательно. Против основной доктрины Ф. выступил один из прежних его лидеров Л. Мис ван дер Роэ , а также приверженцы брутализма , возродившегося неоклассицизма и возврата к историческим традициям.
В современной сов. архитектурной теории преобладает тенденция к внимательному изучению творческого наследия мастеров Ф. (в особенности тех концепций, которые были связаны с проблематикой советского зодчества 1920-х гг.); вместе с тем подвергаются критике социально-утопические воззрения представителей Ф., многие из которых надеялись преобразовать капиталистическое общество с помощью архитектуры.
