2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
||lx || = |l| ||x ||, l Î x , если ||xn — x || 0.
В большом числе задач возникает ещё более частная ситуация, когда в линейном пространстве Х можно ввести скалярное произведение — обобщение обычного скалярного произведения в евклидовом пространстве. Именно, скалярным произведением элементов x , у Î Х называется комплексное число (x , у ) такое, что всегда (x , x ) ³ 0 и (x , x ) = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;
, l, m Î является нормой элемента x . Такое пространство называется предгильбертовым. Для конструкций Ф. а. важно, чтобы рассматриваемые пространства были полными (т. е. из того, что для xm , xn Î X, следует существование предела , также являющегося элементом Х ). Полное линейное нормированное и полное предгильбертово пространства называются, соответственно, банаховым и гильбертовым. При этом известная процедура пополнения метрического пространства (аналогичная переходу от рациональных чисел к действительным) в случае линейного нормированного (предгильбертова) пространства приводит к банахову (гильбертову) пространству.
Обычное евклидово пространство является одним из простейших примеров (действительного) гильбертова пространства . Однако в Ф. а. играют основную роль бесконечномерные пространства, т. е. такие, в которых существует бесконечное число линейно независимых векторов. Вот примеры таких пространств, элементами которых являются классы комплекснозначных (т. е. со значениями в , норма ||x || = ; банахово пространство Lp (T ) всех суммируемых с р -й (p ³ 1) степенью функций на Т , норма ; банахово пространство lp всех последовательностей таких, что , здесь (множеству целых чисел), норма ||x || =(å|xj |p )1/ p ; в случае p = 2 пространства l2 и L2 (T ) гильбертовы, при этом, например, в L2 (T ) скалярное произведение ; линейное топологическое пространство D (), состоящее из бесконечно дифференцируемых функций на , каждая из которых финитна [т. е. равна нулю вне некоторого интервала (а , b )]; при этом xn x, если xn (t ) равномерно финитны [т. е. (а , b ) не зависит от n ] и сходятся равномерно со всеми своими производными к соответствующим производным x (t ).
Все эти пространства бесконечномерны, проще всего это видно для l2 : векторы ej = {0,..., 0, 1, 0,...} линейно независимы.
С геометрической точки зрения наиболее простыми являются гильбертовы пространства Н , свойства которых больше всего напоминают свойства конечномерных евклидовых пространств. В частности, два вектора x , у Î Н называются ортогональными (x ^ y ), если (x , у ) = 0. Для любого x Î Н существует его проекция на произвольное подпространство F — линейное замкнутое подмножество Н , т. е. такой вектор xF , что x —xF ^f для любого f Î F . Благодаря этому факту большое количество геометрических конструкций, имеющих место в евклидовом пространстве, переносится на Н , где они часто приобретают аналитический характер. Так, например, обычная процедура ортогонализации приводит к существованию в Н ортонормированного базиса — последовательности векторов ej , j Î , из Н таких, что ||ej || = 1, ej ^ ek при j ¹ k , и для любого x Î H справедливо «покоординатное» разложение
x = åxj ej (1)
где xj = (x , ej ), ||x || = å|xj |2 (для простоты Н предполагается сепарабельным, т. е. в нём существует счётное всюду плотное множество). Если в качестве Н взять L 2 (0, 2p) и положить , j =...,—1, 0, 1..., то (1) даст разложение функции x (t ) Î L 2 (0, 2p) в ряд Фурье, сходящийся в среднем квадратичном. Кроме того, соотношение (1) показывает, что соответствие между Н и l 2 ' {xj} , j Î гильбертовых пространств Hj — конструкция, подобная образованию Н одномерными подпространствами, описываемому формулой (1); факторизация и пополнение: на исходном линейном пространстве Х задаётся квазискалярное произведение [т. е. возможно равенство (x , x ) = 0 для x ¹ 0], часто весьма экзотического характера, и Н строится процедурой пополнения Х относительно (.,.) после предварительного отождествления с 0 векторов x , для которых (x , x ) = 0; тензорное произведение — образование его аналогично переходу от функций одной переменной f (x1 ) к функциям многих переменных f (x1 ,..., xq ); проективный предел банаховых пространств — здесь (грубо говоря), если для каждого a; индуктивный предел банаховых пространств X1 Ì X2 Ì..., здесь , если все xj , начиная с некоторого j0 , лежат в одном Xj0 , и в нём . Две последние процедуры обычно применяются для построения линейных топологических пространств. Таковы, например, ядерные пространства — проективный предел гильбертовых пространств Н a , обладающих тем свойством, что для каждого a найдётся b такое, что h b Ì Н a , и это — т. н. вложение Гильберта — Шмидта [D () — пример ядерного пространства].
Разработан важный раздел Ф, а., в котором изучаются пространства с конической структурой «x 0» (полуупорядоченностью). Пример такого пространства — действительное С (Т ), в нём считается x 0, если x (t ³)0 для всех t ÎT .
3. Операторы (общие понятия). Функционалы. Пусть X , Y — линейные пространства; отображение A : X ® Y называется линейным, если для x , у Î X , l, m Î ,
где x1 ,..., xn и (Ax )1 ,..., (Ax ) n — координаты векторов x и Ax соответственно. При переходе к бесконечномерным линейным топологическим пространствам положение значительно усложняется. Здесь прежде всего необходимо различать непрерывные и разрывные линейные операторы (для конечномерных пространств они всегда непрерывны). Так, действующий из пространства L2 (а , b ) в него же оператор
