Существуют, однако, и такие Ф., которые не представимы в описанном выше смысле никакой аналитической формулой. Такими Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.
К Ф., заданным одной аналитической формулой, примыкают Ф., которые на разных частях своей области задания определены различными формулами. Такова, например, Ф. f (x ), заданная так: f (x ) = x , если x £ 1, и f (x ) = x2 , если x > 1. Приведённое выше «бесформульное» задание функции Дирихле y(x ) также принадлежит к этому типу.
Ф. y = f (x ) иногда задаётся своим графиком, т. е. множеством тех точек (x , у ) плоскости, у которых x принадлежит области задания Ф., а у = f (x ). В прикладных вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто начерчен на плоскости (рис. ), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, например, верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения температуры, давления и т. п.
Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, однако, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определенно. Поэтому для графического задания Ф. должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию Ф., однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек).
В технике и естествознании часто встречается следующая ситуация: зависимость между величинами x и у заведомо существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом из которых удаётся измерить одно из значений величины x и соответствующее ему значение у . В результате составляется более или менее обширная таблица, сопоставляющая измеренным значениям x соответствующие значения у . Тогда говорят о «табличном» задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитической формулы (см. Интерполяция ) не раз представляло собой важное научное открытие (например, открытие Р. Бойлем и Э. Мариоттом формулы pv = С , связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто математической точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать именно то множество значений x , которое внесено в таблицу, и табличные значения у считать абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о которых шла речь, в математике и её приложениях, большое значение имеют Ф. нескольких аргументов. Пусть, например, каждой системе значений трёх переменных x , у , z соответствует определённое значение четвёртой переменной u . Тогда говорят, что u есть (однозначная) Ф. аргументов x , у , z , и пишут u = f (x , у , z ). Формулы u = x + 2y , u = (x + у ) sinz дают примеры аналитического задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и многозначные Ф. нескольких аргументов. Ф. двух аргументов z = f (x , y ) можно задать и при помощи её графика, т. е. множества точек (x , у , z ) пространства, у которых (x , у ) принадлежит области задания Ф., а z = f (x , у ). В простейших случаях таким графиком служит некоторая поверхность.
Развитие математики в 19 и 20 вв. привело к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные числа, а затем и на переменные математические объекты любой природы. Например, если каждому кругу x плоскости соотнести его площадь у , то у будет функцией x , хотя x уже не число, а геометрическая фигура. Точно так же, если каждому шару x трёхмерного пространства соотнести его центр у , то здесь уже ни x , ни y не будут числами.
Общее определение однозначной Ф. можно сформулировать так: пусть А = {x } и В = {у } — два непустых множества, составленных из элементов любой природы, и М — множество упорядоченных пар (x , у ) (где x Î А , у Î В ) такое, что каждый элемент x Î А входит в одну и только одну пару из М ; тогда М задаёт на А функцию y = f (x ), значение которой для каждого отдельного x0 Î А есть элемент y0 Î В , входящий в единственную пару из М , имеющую x0 своим первым элементом.
При указанном расширении понятия Ф. стирается различие между Ф. одного и нескольких аргументов. Например, всякую Ф. трёх числовых переменных x , у , z можно считать Ф. одного аргумента — точки (x , у , z ) трёхмерного пространства. Более того, такие обобщения понятия Ф., как функционал или оператор (см. Функциональный анализ ), также охватываются приведённым определением.
Как и остальные понятия математики, понятие Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона , Однако термин «Ф.» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном понимании его. Лейбниц называет Ф. различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек и т. п.). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых» Г. Лопиталя (1696) термин «Ф.» не употреблялся.
Первое определение Ф. в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания Ф. аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера (см. «Введение в анализ бесконечных», 1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Эйлеру было не чуждо и современное понимание Ф., которое не связывает понятие Ф. с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». Всё же в 18 в. отсутствовало достаточно ясное понимание различия между Ф. и её аналитическим выражением. Это нашло отражение в той критике, которой Эйлер подверг решение задачи о колебании струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Бернулли лежало утверждение о возможности разложить любую Ф. в тригонометрический ряд. Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла бы для любой Ф. аналитическое выражение, в то время как Ф. может и не иметь его (она может быть задана графиком, «начертанным свободным движением руки»). Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Ф. допускают аналитическое изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Ф., которая всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрический ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Например, Эйлер считал, что разложение Ф. в тригонометрический ряд доставляет для неё единое аналитическое выражение, в то время как она может быть «смешанной» Ф., представимой на разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит, но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитических выражения, совпадая на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.
