нам достаточно сравнительно малых чисел. С «большими» числами имеют дело разве что звездная астрономия да атомная физика, но от них как таковых практической пользы ненамного больше, чем от чистой, абстрактной математики. Не знаю, какова высшая степень точности, когда-либо пригодившаяся инженеру, – пожалуй, десять знаков после запятой уже довольно щедрое преувеличение. Тогда число 3,14159265 (значение π с точностью до восьми знаков после запятой) представимо в виде соотношения:
двух девятизначных чисел. Количество простых чисел, не превышающих 1 000 000 000, равно 50 847 478. Для инженера этого вполне достаточно. Он прекрасно обходится теоремой Евклида. А что касается теоремы Пифагора, очевидно, что иррациональные числа инженера не интересуют, потому что он имеет дело только с величинами приближенными, а все приближенные значения рациональны.
15
Поскольку теорема считается «серьезной», если содержит «значимые» идеи, пожалуй, мне стоит попытаться конкретизировать те признаки, которые определяют значимость математической идеи. Задача весьма трудная, и навряд ли мой анализ будет очень уж ценным. В принципе, глядя на теорему, можно сразу определить «значимость» заложенных в ней идей, как в случае двух приведенных выше теорем. Однако это предполагает достаточно высокий уровень математических знаний и такое понимание математических идей, которое наступает лишь после многих лет знакомства с ними. Поэтому я все же попытаюсь провести анализ и сделать это так, чтобы мои доводы, какими бы неубедительными они ни были, выглядели логичными и понятными. Во всяком случае два свойства представляются мне наиболее существенными: достаточная обобщенность и достаточная глубина – увы, оба качества не имеют точных определений.
Итак, значимая математическая идея (и, соответственно, серьезная теорема) должна обладать определенной степенью обобщенности; то есть быть составляющей многих математических конструкций и входить в доказательства различных теорем. Серьезная теорема, как бы узко она ни была сформулирована изначально (как теорема Пифагора), должна позволять достаточно широкие обобщения и представлять целый класс теорем подобного рода. Отношения, выявленные в ходе ее доказательства, должны связывать различные математические идеи. Все это неконкретно и требует немалых пояснений. С другой стороны, теорему, явно лишенную этого качества, с легкостью можно отнести к несерьезным. Об этом свидетельствуют отдельно стоящие любопытные казусы, которых в арифметике предостаточно. Приведу лишь два таких примера, взятых наобум из «Математических эссе и развлечений» Роуза Болла[82].
а) 8712 и 9801 – единственные четырехзначные числа, кратные собственным «инверсиям»:
8712 = 4 × 2178, 9801 = 9 × 1089.
Других чисел до 10 000, обладающих этим свойством, не существует.
б) Существует всего четыре числа (кроме единицы), являющихся суммой кубов цифр, из которых состоят:
153 = 13+ 53+ 33, 370 = 33+ 73+ 03,
371 = 33+ 73+ 13, 407 = 43+ 03+ 73.
Это забавные факты, которые вполне подходят для газетных головоломок и очень радуют любителей, однако вряд ли вызовут восторг у профессионального математика. Их доказательства просты и неинтересны, зато порядком утомляют. Такие теоремы несерьезны – хотя бы по причине чрезмерной конкретности как их формулировок, так и доказательств, не допускающих каких-либо стоящих обобщений.
16
«Обобщенность» – термин довольно расплывчатый, и мы обязаны строго следить за тем, чтобы в наших обсуждениях он не занимал слишком важное место. Это слово в разных значениях используется как в математике, так и в том, что о ней пишут; в частности, логики делают особенный акцент на одном из этих значений, которое к нашей дискуссии никакого отношения не имеет. Именно в этом конкретном смысле, определение которому дать довольно легко, все математические теоремы имеют одинаково «общий характер».
«Незыблемость математики, – пишет Уайтхед[83], – в ее полной абстрактной обобщенности». Утверждая, что 2 + 3 = 5, мы закрепляем связь между тремя группами «понятий»; эти «понятия» – не яблоки, или монеты, или какие-то другие конкретные предметы, а все что угодно – «вообще все». Смысл утверждения совершенно не зависит от индивидуальных свойств представителей каждой группы. Все математические объекты, категории или отношения, такие как «2», «3», «5», «+» или «=», а также все математические выражения, в которые они входят, носят абсолютно общий характер в смысле их полной абстрактности. В самом деле, утверждение Уайтхеда – это тавтология, так как в этом смысле «обобщенность» тождественна «абстрактности».
Это значение слова важно, и логики совершенно правы, отводя ему важную роль. Оно воплощает в себе непреложную истину, которую немало людей, которым положено о ней знать, норовят забыть. Очень часто, например, астроном или физик спешат объявить, что вывели «математическое доказательство», объясняющее определенное поведение Вселенной. Подобные заявления, если воспринимать их буквально, – полнейший вздор. Невозможно доказать математически, что назавтра наступит затмение, ибо затмения, как и прочие физические явления, не являются частью абстрактного мира математики. С этим, я уверен, согласится, если на него как следует надавить, любой астроном, независимо от количества верно предсказанных им затмений.
Очевидно, что нас заботит вовсе не эта «обобщенность». Мы пытаемся сравнить степень обобщенности различных математических теорем, тогда как в том смысле, который вложил в термин Уайтхед, все теоремы носят одинаково общий характер. Так, «тривиальные» теоремы а) и б) из пятнадцатой главы имеют такую же степень «абстрактности» или «обобщенности», как теоремы Евклида или Пифагора, а заодно и как любая шахматная задача. В шахматах все равно, белые фигуры или черные, красные или зеленые – да и само наличие физических фигур не имеет значения; это все та же задача, которую гроссмейстер с легкостью решает в уме и с которой нам без шахматной доски не справиться. Доска и фигуры – всего лишь подспорье для нашего заторможенного воображения; они настолько же важны для решения, как доска и мел – для теоремы на лекции по математике.
Итак, мы говорим об обобщенности не как о свойстве, присущем всем теоремам в математике, а как о чем-то более изощренном и неуловимом, что я худо-бедно пытался описать в пятнадцатой главе. И даже в этом смысле на обобщенности не следует делать слишком уж сильный акцент (как это делают логики вроде Уайтхеда). Здесь речь не просто о «наслаивании тонкостей обобщения на тонкости обобщения»[84], которое можно отнести к выдающимся достижениям современной математики. В определенной степени обобщения должны присутствовать в любой теореме высшего класса, но их перебор неминуемо приводит к бессодержательности. Как говорится, «все так, как есть, и не иначе», поэтому различия не менее интересны, чем сходства. Мы выбираем друзей не потому, что они вобрали в себя все приятные человеческие
